0.2.5 転置、共役転置、トレース
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_{m,n}(F) \) に対して、転置行列 \( A^T \) は \( M_{n,m}(F) \) に属する行列であり、その \( i, j \) 成分は \( a_{ji} \) です。つまり、行と列を入れ替えたものです。たとえば：
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}^T =
\begin{bmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{bmatrix}
もちろん、\((A^T)^T = A\) が成り立ちます。
複素数体 \( \mathbb{C} \) 上の行列 \( A \in M_{m,n}(\mathbb{C}) \) に対して、共役転置（または随伴、エルミート随伴）と呼ばれる行列 \( A^* \) は次のように定義されます：
\( A^* = \overline{A}^T \)、ここで \( \overline{A} \) は成分ごとの複素共役です。
例：
\begin{bmatrix}
1+i & 2-i \\
-3 & -2i
\end{bmatrix}^* =
\begin{bmatrix}
1-i & -3 \\
2+i & 2i
\end{bmatrix}
転置と共役転置はともに「順序逆転の法則（reverse-order law）」に従います：
(AB)^* = B^* A^*, \quad (AB)^T = B^T A^T
一方、積の複素共役には順序の逆転はありません：
\overline{AB} = \overline{A} \, \overline{B}
ベクトル \( x, y \) がともに実数または複素数の同じサイズのベクトルである場合、\( y^*x \) はスカラーになり、次の恒等式が成り立ちます：
(y^* x)^* = y^* x = x^* y = y^T \overline{x}
転置・共役転置を用いた行列の分類
多くの重要な行列のクラスは、転置や共役転置に関する恒等式で定義されます。
- \( A \in M_n(F) \) が 対称（symmetric）とは \( A^T = A \)
- \( A^T = -A \) のとき、反対称（skew symmetric）
- \( A^T A = I \) のとき、直交（orthogonal）
- \( A^* = A \) のとき、エルミート（Hermitian）
- \( A^* = -A \) のとき、反エルミート（skew Hermitian）
- \( e^{i\theta} A \) がエルミートである場合、本質的にエルミート（essentially Hermitian）
- \( A^* A = I \) のとき、ユニタリ（unitary）
- \( A^* A = A A^* \) のとき、正規（normal）
行列の分解
任意の \( A \in M_n(F) \) は一意的に、対称部分と反対称部分に分解できます：
A = S(A) + C(A)
ここで、
S(A) = \frac{1}{2}(A + A^T), \quad C(A) = \frac{1}{2}(A - A^T)
同様に、任意の複素行列 \( A \in M_{m,n}(\mathbb{C}) \) は次のように実部と虚部に分解できます：
A = B + iC
ここで、
B = \frac{1}{2}(A + \overline{A}), \quad C = \frac{1}{2i}(A - \overline{A})
また、任意の複素正方行列 \( A \in M_n(\mathbb{C}) \) は次のようにエルミート部分と反エルミート部分に一意的に分解できます（これをトープリッツ分解と呼びます）：
A = H(A) + i K(A)
ここで、
H(A) = \frac{1}{2}(A + A^*), \quad iK(A) = \frac{1}{2}(A - A^*)
トレース
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_{m,n}(F) \) のトレースは、その主対角成分の総和として定義されます：
\operatorname{tr}(A) = a_{11} + \cdots + a_{qq}, \quad \text{where } q = \min(m,n)
任意の \( A \in M_{m,n}(\mathbb{C}) \) に対して、次が成り立ちます：
\operatorname{tr}(A A^*) = \operatorname{tr}(A^* A) = \sum_{i,j} |a_{ij}|^2
したがって、
\operatorname{tr}(A A^*) = 0 \iff A = 0
等方的ベクトル
ベクトル \( x \in F^n \) が「等方的（isotropic）」であるとは、次が成り立つことをいいます：
x^T x = 0
たとえば、ベクトル \( \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} \in \mathbb{C}^2 \) は非ゼロの等方的ベクトルです。一方、実ベクトル空間 \( \mathbb{R}^n \) には非ゼロの等方的ベクトルは存在しません。
コメント