0.11 同値関係
集合 \( S \) と、その部分集合 \(\mathrel{R} \subseteq S \times S = \{(a,b) : a \in S, b \in S\}\) を考えます。このとき、\(\mathrel{R}\) は集合 \( S \) 上の関係を次のように定義します：
「\(a\) は \(b\) に関係している」とは、\((a,b) \in \mathrel{R}\) であることを意味し、記号で \(a \sim b\) と書きます。
集合 \( S \) 上の関係 \(\sim\) が 同値関係 であるとは、以下の3条件を満たすことをいいます：
- 反射律 (reflexive): 任意の \(a \in S\) に対して \(a \sim a\)
- 対称律 (symmetric): \(a \sim b\) ならば \(b \sim a\)
- 推移律 (transitive): \(a \sim b\) かつ \(b \sim c\) ならば \(a \sim c\)
同値関係は、集合 \( S \) を自然に互いに素な分割（分割族）に分けます。
任意の \( a \in S \) に対して、その同値類を
S_a = \{ b \in S : b \sim a \}
と定義すると、次のことが成り立ちます：
S = \bigcup_{a \in S} S_a
また、任意の \( a, b \in S \) に対して、次のいずれかが成立します：
- もし \( a \sim b \) ならば \( S_a = S_b \)
- もし \( a \not\sim b \) ならば \( S_a \cap S_b = \emptyset \)
逆に、集合 \( S \) の任意の互いに交わらない分割は、\( S \) 上の同値関係を定義するために用いることができます。
行列の同値関係の例
以下の行列の因子は正方行列かつ正則、\(U\) と \(V\) はユニタリ行列、\(L\) は下三角行列、\(R\) は上三角行列、\(D_1\) と \(D_2\) は対角行列です。行列 \(A\) と \(B\) は、同値、ユニタリ同値、三角同値、対角同値のいずれかの関係を満たす場合に必ずしも正方である必要はありません。
| 同値関係 | 関係式 |
|---|---|
| 合同 (congruence) | \( A = S B S^T \) |
| ユニタリ合同 (unitary congruence) | \( A = U B U^T \) |
| 随伴合同 (*congruence) | \( A = S B S^* \) |
| 共役類似 (consimilarity) | \( A = S B \overline{S}^{-1} \) |
| 同値 (equivalence) | \( A = S B T \) |
| ユニタリ同値 (unitary equivalence) | \( A = U B V \) |
| 対角同値 (diagonal equivalence) | \( A = D_1 B D_2 \) |
| 相似 (similarity) | \( A = S B S^{-1} \) |
| ユニタリ相似 (unitary similarity) | \( A = U B U^* \) |
| 三角同値 (triangular equivalence) | \( A = L B R \) |
標準形と不変量
行列解析における同値関係では、同値類の代表元（標準形または正規形）を見つけることが重要です。これにより、同値類の判定が簡単になります。
抽象的には、集合 \( S \) 上の同値関係 \(\sim\) に対し、部分集合 \( C \subseteq S \) が次を満たすとき、\( C \) を同値関係の標準形と呼びます：
- 集合 \( S \) は \( \bigcup_{a \in C} S_a \) に分割されている。
- 異なる \( a, b \in C \) に対し、同値類 \( S_a \) と \( S_b \) は互いに素である。
- 任意の \( a \in S \) に対して、唯一の \( c \in C \) が存在して \( a \in S_c \) となる。
行列解析においては、標準形の選び方を工夫し、用途に応じて複数の標準形が存在します。例えば、ジョルダン標準形とウェイル標準形は相似に対する異なる標準形であり、それぞれ行列のべき乗の問題や可換性の問題に適しています。
また、同値関係 \(\sim\) に対する不変量（invariant）とは、\( a \sim b \) ならば \( f(a) = f(b) \) を満たす関数 \( f \) のことです。複数の不変量の族 \( \mathcal{F} \) が存在し、\( f(a) = f(b) \) がすべての \( f \in \mathcal{F} \) で成立することと \( a \sim b \) が同値である場合、\( \mathcal{F} \) を完全不変量系と呼びます。例えば、行列の特異値はユニタリ同値に対する完全不変量系です。
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