0.1.3 部分空間、スパン、線形結合
体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間 \( V \) に対して、\( V \) の部分集合であって、\( V \) と同じベクトル加法およびスカラー倍により再び \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間を形成するものを、\( V \) の部分空間といいます。部分空間となるためには、ベクトル加法とスカラー倍に対して閉じている必要があります。
例として、
\left\{ \begin{bmatrix} a \\ b \\ 0 \end{bmatrix} : a, b \in \mathbb{R} \right\}
は \( \mathbb{R}^3 \) の部分空間です（転置記法は 0.2.5 を参照）。
部分空間の共通部分は常に部分空間になりますが、和集合はそうとは限りません。\(0\) や \( V \) は常に部分空間であり、「自明な部分空間」と呼ばれます。それ以外の部分空間は「非自明な部分空間」とされます。さらに、\( V \) と一致しない部分空間は「真部分空間」と呼ばれます。\(0\) は「ゼロベクトル空間」と呼ばれます。
すべてのベクトル空間はゼロベクトルを含むため、部分空間が空集合であることはありません。
ベクトル空間 \( V \) の部分集合 \( S \) に対して、span \( S \) は \( S \) を含むすべての部分空間の共通部分として定義されます。\( S \) が空でない場合、次のようになります：
\begin{align}
\text{span } S &= \{ a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k : \notag \\
& v_1, \ldots, v_k \in S, \notag \\
& a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{F},\ k \in \mathbb{N} \notag \}
\end{align}一方、\( S \) が空の場合、それはすべての部分空間に含まれるため、共通部分は\( \{0\}\) となり：
\text{span } S = \{0\}
したがって、\( S \) が部分空間でなくとも、\( \text{span } S \) は常に部分空間となります。\( \text{span } S = V \) のとき、\( S \) は \( V \) を張る（spanする）といいます。
体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間 \( V \) において、線形結合とは次の形式の式です：
a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k
ここで \( k \) は正の整数、各 \( a_i \in \mathbb{F} \)、各 \( v_i \in V \) です。したがって、空でない部分集合 \( S \) のスパンは、\( S \) に含まれる有限個のベクトルのすべての線形結合からなります。
すべての係数が 0 のとき（すなわち \( a_1 = \cdots = a_k = 0 \)）、その線形結合は「自明」であるといい、そうでなければ「非自明」です。線形結合とは定義により、有限個のベクトルの和の形である必要があります。
体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間の部分空間 \( S_1, S_2 \) に対して、その和は次のように定義されます：
\begin{align}
S_1 + S_2 &= \text{span}(S_1 \cup S_2) \notag \\
&= \{ x + y : x \in S_1,\ y \in S_2 \}\notag
\end{align}
もし \( S_1 \cap S_2 = \{0\} \) であれば、その和は直和（direct sum）と呼ばれ、次のように表記されます：
S_1 \oplus S_2
このとき、すべての \( z \in S_1 \oplus S_2 \) に対し、\( z = x + y \) かつ \( x \in S_1,\ y \in S_2 \) の表現はただ一通り存在します。
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