[行列解析0.1.2]ベクトル空間

0.1.2 ベクトル空間

体 \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間 \( V \) は、以下の性質を持つ集合です：

「加法」という二項演算の下で閉じており、加法は結合的・可換的です。
加法における単位元（ゼロベクトル、記号 \( 0 \)）と加法の逆元を持ちます。
スカラー体 \( \mathbb{F} \) の元によるスカラー倍にも閉じています。

すべての \( a, b \in \mathbb{F} \)、および \( x, y \in V \) に対して、次の性質が成り立ちます：

a(x + y) = ax + ay

(a + b)x = ax + bx

a(bx) = (ab)x

ex = x

ここで \( e \) は \( \mathbb{F} \) における乗法の単位元です。

体 \( \mathbb{F} \) と正の整数 \( n \) が与えられたとき、成分が \( \mathbb{F} \) に属する \( n \) 個のタプル全体の集合 \( \mathbb{F}^n \) は、成分ごとの加法を通じて \( \mathbb{F} \) 上のベクトル空間を形成します。慣例として、\( \mathbb{F}^n \) の要素は常に列ベクトルとして表され、しばしば n-ベクトル と呼ばれます。

特に \( \mathbb{R}^n \) や \( \mathbb{C}^n \) はこの書籍で扱う基本的なベクトル空間です。\( \mathbb{R}^n \) は実ベクトル空間（実数体上のベクトル空間）であり、\( \mathbb{C}^n \) は実ベクトル空間であると同時に複素ベクトル空間（複素数体上のベクトル空間）でもあります。

また、実係数または複素係数の多項式全体の集合（次数に制限がある場合や無制限の場合）、および実数値または複素数値の関数（定義域が \( \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \) の部分集合）の集合も、通常の関数の加法とスカラー倍を用いることで、実または複素ベクトル空間の例となります。