1.0 はじめに
1.0.1 基底の変換と類似性
すべての可逆行列は基底変換行列であり、またすべての基底変換行列は可逆です。
したがって、あるベクトル空間 \( V \) の基底 \( B \) と、\( V \) 上の線形変換 \( T \) が与えられているとき、行列 \( A = B[T]B \) を \( B \) 基底での \( T \) の表現とします。
このとき、\( T \) の取り得るすべての基底表現の集合は次のように表されます：
\[\{ B_1[I]_B \cdot B[T]_B \cdot B[I]_{B_1} : B_1 \text{ は } V \text{ の基底} \}= \{ S^{-1} A S : S \in M_n(F),\ S \text{ は可逆} \}\]
これは、行列 \( A \) に類似なすべての行列の集合に他なりません。つまり、互いに異なる類似行列は、同じ線形変換の異なる基底における表現にすぎないのです。
このことから、類似な行列が多くの重要な性質を共有することが予想されます。少なくとも、その線形変換自体に内在する性質に関してはそうであるべきです。これは線形代数において重要なテーマのひとつです。しばしば、ある具体的な行列に関する問題を、その行列の一表現にすぎない線形変換の本質的な性質に関する問題として捉え直すことが有効です。
「類似性（similarity）」という概念は、本章における中心的なキーワードです。
1.0.2 制約付き極値問題と固有値
本章におけるもう一つの重要な概念は、「固有ベクトル」と「固有値」です。ある行列 \( A \) に対して、\( Ax \) が \( x \) のスカラー倍となるような零でないベクトル \( x \) は、行列あるいは線形変換の構造を解析する上で重要な役割を果たします。
これらのベクトルは、より初等的な文脈――すなわち、幾何的な制約のもとで実対称二次形式を最大化（または最小化）する問題――の中でも登場します。たとえば、実対称行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が与えられたとき、
次の制約付き最適化問題を考えます：
\[\text{maximize } x^T A x,\quad \text{subject to } x \in \mathbb{R}^n,\ x^T x = 1 \tag{1.0.3}\]
このような制約付き最適化問題に対しては、ラグランジュ乗数法を用いるのが一般的です。ラグランジアンを次のように定義します：
\[L = x^T A x - \lambda x^T x\]
極値を得るための必要条件は次の通りです：
\[\nabla L = 2(Ax - \lambda x) = 0\]
したがって、もし \( x \in \mathbb{R}^n \) が \( x^T x = 1 \) を満たし（よって \( x \neq 0 \)）、かつ \( x^T A x \) の極値となるならば、次の方程式を満たす必要があります：
\[Ax = \lambda x\]
このとき、ある零でないベクトル \( x \) に対して \( Ax = \lambda x \) を満たすスカラー \( \lambda \) は、行列 \( A \) の固有値と呼ばれます。
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