1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.10]定義（主小行列式の総和）
1.2.10.定義（主小行列式の総和）定義 1.2.10 \( A \in M_n \) とする。サイズ \( k \) の主小行列式の総和（その数は \(\binom{n}{k}\) 個ある）を \( E_k(A) \) で表す。 我々は...
1.固有値・固有ベクトル・相似 1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.9]スペクトル半径
1.2.9.スペクトル半径定義定義 1.2.9 \( A \in M_n \) とする。\( A \) のスペクトル半径は次で定義される：\rho(A) = \max \{ \, |\lambda| : \lambda \in \sigma...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.8]ブラウアーの定理
1.2.8.ブラウアーの定理例 1.2.8 ブラウアーの定理。\( x, y \in \mathbb{C}^n \)、\( x \neq 0 \)、そして \( A \in M_n \) とする。いま \( Ax = \lambda x \...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.7]例\( I + xy^{*} \)の固有値と行列式
1.2.7例例 1.2.7 \( x, y \in \mathbb{C}^n \) とする。\( I + xy^{*} \) の固有値と行列式は何か？(0.8.5.11) および \(\operatorname{adj}(\alpha I)...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.5]固有値の重複度
1.2.5 定義 1.2.5. \( A \in M_n \) とする。固有値 \(\lambda\) の 重複度 とは、固有多項式 \( p_A(t) \) の零点としての重複度をいう。明確にするため、固有値の重複度を 代数的重複度 と呼...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.4]特性多項式
1.2.4特性多項式の観察観察 1.2.4 各 \( A = \in M_n \) の特性多項式は次数 \( n \) を持ち、\( p_A(t) = t^n - (\operatorname{tr} A) t^{n-1} + \cdots...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.3]特性多項式の定義
1.2.3.特性多項式の定義定義 1.2.3 形式的に変数 \( t \) の多項式として考えると、\( A \in M_n \) の特性多項式は次のように定義されます： p_A(t) = \det(t I - A)方程式 \( p_A(t...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2]特性多項式と代数的重複度
1.2 特性多項式と代数的重複度複素正方行列はいくつの固有値を持つのでしょうか。また、それらを体系的に特徴づけるにはどうすればよいでしょうか。固有値・固有ベクトルの方程式 (1.1.3) を次のように書き換えます：(\lambda I - ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P13]
1.1.問題131.1.P13 \( A \in M_{n} \) とし、\(\lambda, x\) が \(A\) の固有値・固有ベクトルの組であるとします。\(x\) が \(\operatorname{adj} A\) の固有ベクト...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P12]
1.1.問題1.1.P12 \(\lambda\) がA = \begin{pmatrix}a & c \\b & d\end{pmatrix} \in M_{2}の固有値であるとします。(1.1.P11) を用いて、次の行列のいずれかの列...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P11]
1.1.問題111.1.P11 \( A \in M_n \) と \( \lambda \in \sigma(A) \) が与えられているとします。このとき、\( A - \lambda I \) は特異（singular）であるため、(...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P10]
1.1.問題101.1.P10 次の例について詳細を示しなさい。この例は、無限次元の複素ベクトル空間上の線形作用素が固有値を持たない場合があることを示しています。 \( V = \{ (a_1, a_2, \dots) : a_i \in ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P9]
1.1.問題91.1.P9 定義 (1.1.3) を用いて、次の実行列 \( A \) が実数の固有値を持たないことを示しなさい。 A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} しかし、...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P8]
1.1.問題81.1.P8 「定理 1.1.9」の議論を使って「すべての正方実行列が実固有値を持つ」ことを示そうとした場合、この議論がなぜ成り立たないのかを説明しなさい。 定理 1.1.9 \( A \in M_n \) が与えられていると...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P7]
1.1.問題7問題 1.1.P7 \( A \in M_n \) がエルミート行列（Hermitian）であるとき、\( A \) のすべての固有値が実数であることを示しなさい。 エルミート行列とは、複素共役転置をとっても変わらない行列、す...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P6]
1.1.問題6次のことを示します。任意の冪零（nilpotent）行列のすべての固有値は 0 であること。また、零行列ではない冪零行列の例を示します。さらに、0 が唯一の冪零かつ冪等（idempotent）な行列である理由を説明します。解答...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P5]
1.1.問題5\( A \in M_n \) が冪等（idempotent）である、すなわち \( A^2 = A \) であるとします。このとき、\( A \) の各固有値は 0 または 1 のいずれかであることを示しなさい。また、単位行...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P4]
1.1.問題41.1.P4 次のブロック対角行列を考える。 \( A = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \)、ただし \( A_{ii} \in M_{n_i}...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P3]問題3
1.1.P3\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。\( \lambda \) が \( A \) の実固有値であり、\( Ax = \lambda x \)、\( x \in \mathbb{C}^n \)、\( ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P2]問題2
1.1.問題2\( A \in M_n \) を与える。 (a) 各行の要素の和が1であることは、\( 1 \in \sigma(A) \) かつベクトル \( e = ^T \) が対応する固有ベクトル、すなわち \( Ae = e \)...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.P1]問題1
1.1.問題1\( A \in M_n \) が正則（逆行列を持つ）と仮定する。(1.1.7)によれば、これは \( 0 \notin \sigma(A) \) と同値である。任意の \( \lambda \in \sigma(A) \) ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.9]定理 1.1.9.
定理 1.1.9. 任意の \( A \in M_n \) に対して、\( A \) は固有値を持つ。実際、与えられた非零ベクトル \( y \in \mathbb{C}^n \) について、次数が高々 \( n - 1 \) の多項式 \...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.8]観察
観察 1.1.8. \( A \in M_n \) と \( \lambda, \mu \in \mathbb{C} \) を任意に与える。このとき、\( \lambda \in \sigma(A) \) であることと、\( \lambda...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.7]観察
観察1.1.7行列 \( A \in M_n \) は特異行列であることと、\( 0 \in \sigma(A) \) であることは同値である。 証明．行列 \( A \) が特異であるとは、ある \( x \neq 0 \) に対して \...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.6]定理1.1.6（固有値–固有ベクトル）
定理 1.1.6 \( p(t) \) を次数 \( k \) の多項式とする。もし \( \lambda, x \) が \( A \in M_n \) の固有値–固有ベクトルの組であれば、\( p(\lambda), x \) は \(...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.4]定義（スペクトル）
定義 1.1.4. \( A \in M_n \) の スペクトルとは、\( A \) の固有値となるすべての \(\lambda \in \mathbb{C}\) の集合であり、この集合を \(\sigma(A)\) で表す。与えられた ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1.2]定義（固有値・固有ベクトル）
定義（固有値・固有ベクトル）定義 1.1.2. \( A \in M_n \) とする。もしスカラー \( \lambda \) とゼロでないベクトル \( x \) が次の式を満たすとき、(1.1.3) A x = \lambda x, ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.1]固有値–固有ベクトル方程式
1.1 固有値–固有ベクトル方程式行列 \( A \in M_n \) は、\( \mathbb{C}^n \) から \( \mathbb{C}^n \) への線形変換として考えることができます。すなわち、(1.1.1) A : x \ ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.0.P2]対象行列の最大の実固有値
対象行列の最大の実固有値1.0.P2\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が対称行列であるとする。このとき、 \max \{ x^{T} A x : x \in \mathbb{R}^n, x^{T} x = 1 \} が...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.0.P1]実対称行列が少なくとも1つの実固有値を持つ
問題1.0.P1 ワイエルシュトラスの定理（付録E参照）を用いて、制約付き極値問題（1.0.3）が解を持つ理由を説明し、任意の実対称行列が少なくとも1つの実固有値を持つことを結論づけなさい。(1.0.3)\text{maximize } x...