6.2.26定理6.2.26（タウスキー）行列 \(A \in M_n\) が不可約であり、\(\lambda \in \mathbb{C}\) が不等式 (6.2.2a) を満たすとする。例えば、\(\lambda\) はゲルシュゴリン集...

6.2.25行列 \(A \in M_n\) に対して、次の条件を満たす場合、\(A\) は不可約対角優位であるという。(a) \(A\) は不可約である。(b) \(A\) は対角優位である。すなわち、すべての \(i = 1, \dot...

6.2.24まとめると、定理6.2.24．行列 \(A \in M_n\) に対して、以下は同値である。(a) \(A\) は不可約である。(b) \((I + |A|)^{n-1} > 0\)。(c) \((I + M(A))^{n-1}...

6.2.23定理6.2.23．行列 \(A \in M_n\) に対して、以下は同値である。(a) \(A\) は不可約である。(b) \((I + |A|)^{n-1} > 0\)。(c) \((I + M(A))^{n-1} > 0\)...

6.2.22定義6.2.22．行列 \(A \in M_n\) が不可約であるとは、可約でない場合をいう。

6.2.21定義6.2.21．行列 \(A \in M_n\) が可約であるとは、置換行列 \(P \in M_n\) が存在してP^T A P =\begin{pmatrix}B & C \\0_{n-r,r} & D\end{pmatr...

6.2.20系6.2.20．行列 \(A \in M_n\) およびノード \(i, j \in \{1, \dots, n\}\) に対して、\(i \neq j\) ならば、\(\mathcal{G}(A)\) において \(P_i\)...

6.2.19系6.2.19．行列 \(A \in M_n\) に対して、次の条件は同値である。 (a) AはSC性を持つ。(b) \((I + |A|)^{n-1} > 0\)。(c) \((I + M(A))^{n-1} > 0\)。証明...

6.2.18系6.2.18．行列 \(A \in M_n\) に対して、\(|A|^m > 0\) であることは、\(\mathcal{G}(A)\) の任意のノード \(P_i\) から任意のノード \(P_j\) への長さ \(m\) ...

6.2.17定義6.2.17．行列 \(A = \in M_n\) に対して、すべての成分 \(a_{ij}\) が実数かつ非負である場合、\(A \ge 0\)（Aは非負）であるという。また、すべての成分 \(a_{ij}\) が実数かつ...

6.2.16定理6.2.16．行列 \(A \in M_n\) と、\(\mathcal{G}(A)\) のノード \(P_i\) および \(P_j\) が与えられたとする。次の3条件は同値である。(a) \(\mathcal{G}(A)...

6.2.観察6.2.15．\(\mathcal{G}\) を \(n\) 個のノードを持つ有向グラフとする。もし \(\mathcal{G}\) において、与えられた2つのノード間に有向経路が存在するならば、そのノード間には長さが \(n-...

6.2.14定理6.2.14．行列 \(A \in M_n\) に対して、\(A\) が SC 性を持つことと、有向グラフ \(\mathcal{G}(A)\) が強連結であることは同値である。演習．前記定理を証明せよ。演習．有向グラフ \...

6.2.13定義6.2.13．有向グラフ \(\mathcal{G}\) は強連結であるとは、\(\mathcal{G}\) 内の任意の異なるノード \(P_i, P_j\) に対して、\(P_i\) から始まり \(P_j\) で終わる有...

6.2.12定義6.2.12．グラフ \(\mathcal{G}\) における有向経路 \(\gamma\) とは、\(\mathcal{G}\) 内の弧 \(P_{i_1} P_{i_2}, P_{i_2} P_{i_3}, P_{i_3...

6.2.11定義6.2.11．行列 \(A \in M_n\) の有向グラフを \(\Gamma(A)\) と表す。これは \(n\) 個のノード \(P_1, P_2, \dots, P_n\) 上の有向グラフであり、ノード \(P_i\...

6.2.10定義6.2.10．任意の行列 \(A = \in M_{m,n}\) に対して、次の2つの行列を定義する。\lvert A \rvert = , \quad M(A) = ここで、要素 \(\mu_{ij}\) は次のように定め...

6.2.9系6.2.9（改良された系）．\(A = \in M_n\) が性質SC（Strong Connectivity）をもつと仮定する。もし \(A\) が対角優位であり、さらにある \(k \in \{1, \dots, n\}\)...

6.2.8定理6.2.8（改良された定理）．\(A \in M_n\) とし，\(\lambda, x = \) を \(A\) の固有値・固有ベクトルの組とする。ここで \(\lambda\) は不等式 (6.2.2a) を満たしていると...

6.2.7定義6.2.7. 行列 \(A = \in M_n\) が性質SC（Strong Connectivity）をもつとは、次の条件を満たすことをいう。すなわち、異なる2つの整数 \(p, q \in \{1, \dots, n\}\...

6.2.6系6.2.6. 行列 \(A=\in M_n\) を考え、かつ \(A\) のすべての成分がゼロでないと仮定する。もし \(A\) が対角優位であり、かつある \(k\in\{1,\dots,n\}\) が存在して\lvert a...

6.2.5定理6.2.5　\(A \in M_n\) とし、\(A\) の固有対 \((\lambda, x = )\) が不等式 (6.2.2a) を満たすものとする。もし \(A\) のすべての成分がゼロでないなら、次のことが成り立つ。...

6.2.3補題6.2.3. 行列 \(A = \in M_n\) に対して、\(\lambda, x\) が固有対（eigenpair）であり、\(\lambda\) が不等式 (6.2.2a) を満たすとする。このとき次が成り立つ。(a)...

6.2.2補題6.2.2. 行列 \(A = \in M_n\) と複素数 \(\lambda \in \mathbb{C}\) を考える。 (a) \(\lambda\) が任意のゲルシュゴリン円盤の内部に含まれないことは、次の不等式がす...

注記と参考文献6.1.1 のオリジナルの参照文献はゲルシュゴリン, "Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix", Izv. Akad. Nauk. S.S.S.R. 7 (1931)...

6.1.問題216.1.P21特殊な構造を持つ行列においては、(6.1.10–11) の仮定より弱い条件でも非特異性を保証できる場合がある。循環行列 \(A = \in M_n\) の場合、任意の 1 行が対角優勢であれば非特異であることを...

6.1.問題206.1.P20行列 \(A \in M_n\) の固有値 \(\lambda\) の幾何学的重複度が \(k \ge 1\) 以上であるとする。（a）\(\lambda\) は \(A\) の n − k + 1 個の異なる...

6.1.問題196.1.P19行列 \(A = \in M_n\) の固有値 \(\lambda\) の幾何学的重複度が \(k \ge 1\) であるとする。このとき、k 個の異なるインデックス \(i_1, \dots, i_k \in...

6.1.問題186.1.P18行列 \(X = \in M_{n,k}\) が列ランク満たしているとする。このとき、非特異な行列 \(R \in M_k\) が存在し、行列 \(Y = = = XR\) が次の性質を持つことを示す：k 個の...