定理 1.3.31（Mirsky）. 整数 \( n \geq 2 \) および複素数 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\)、\(d_1, \dots, d_n\) が与えられているとする。次が成り立つ：固有値が ...

系 1.3.30. \( F = \{ A_\alpha : \alpha \in I \} \subset M_n(\mathbb{R}) \) を、実固有値を持つ実対角化可能行列の族とする。このとき、\( F \) が可換族であることは...

定理 1.3.29. \( F = \{ A_\alpha : \alpha \in I \} \subset M_n(\mathbb{R}) \)、\( G = \{ B_\alpha : \alpha \in I \} \subset ...

補題 1.3.28. \( S \in M_n \) を正則行列とし、\( S = C + iD \) と表す。ただし \( C, D \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。このとき、ある実数 \(\tau\) が存在して、...

定理 1.3.27. \( A \in M_n \) が対角化可能であり、その異なる固有値を \(\mu_1, \dots, \mu_d\)、それぞれの重複度を \(n_1, \dots, n_d\) とする。\( S, T \in M_n...

例 1.3.26. 任意の \( n \geq 2 \) に対して、次の \( n \times n \) 実反対称テプリッツ行列を考える。A = _{i,j=1}^{n}= \begin{bmatrix}0 & -1 & -2 & \cd...

例 1.3.25. 任意の \( n \geq 2 \) に対して、次の \( n \times n \) 実対称ハンケル行列を考える。A = _{i,j=1}^{n}= \begin{bmatrix}2 & 3 & 4 & \cdots ...

例 1.3.24. コーシーの行列式恒等式正則な \( A \in M_n \) と、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。このとき、\begin{aligned}\det(A + x y^{T})...

定理 1.3.22 には多くの応用があり、そのいくつかは次章以降で現れる。ここではそのうちの 4 つのうちの 1 つを示す。例 1.3.23. 低ランク行列の固有値\( A \in M_n \) が \( A = X Y^{T} \) と因...

定理 1.3.22. \( A \in M_{m,n} \)、\( B \in M_{n,m} \) で \( m \leq n \) とする。このとき、\( BA \) の \( n \) 個の固有値は、\( AB \) の \( m \...

定理 1.3.21. \( F \subset M_n \) を対角化可能な行列族とする。このとき、\( F \) が可換族であることと、同時対角化可能族であることは同値である。さらに、任意の \( A_0 \in F \) と、\( A_...

定義 1.3.20.同時対角化可能\( F \subset M_n \) が同時対角化可能であるとは、ある正則行列 \( S \in M_n \) が存在して、すべての \( A \in F \) に対して \( S^{-1} A S \)...

次の補題は、多くの後続結果の核心となる。補題 1.3.19. \( F \subset M_n \) を可換な族とする。このとき、\(\mathbb{C}^n\) において、すべての \( A \in F \) の固有ベクトルとなる零でない...

観察 1.3.18. \( n \geq 2 \) とする。ある \( A \in M_n \) が (1.3.17) 形式のブロック三角行列に相似であるのは、\( \mathbb{C}^n \) の非自明な部分空間が \( A \)-不変...

定理 1.3.12 の結果を、任意個数の可換な対角化可能行列に拡張した形で得たい。そのための中心的な概念は、不変部分空間と、それに対応するブロック三角行列である。定義 1.3.16. \( \mathcal{F} \subseteq M_n...

定理 1.3.12. \( A, B \in M_n \) が対角化可能であるとする。このとき、\( A \) と \( B \) が可換であることと、それらが同時対角化可能であることは同値である。証明. まず、\( A \) と \( B...

定義 1.3.11. \( A, B \in M_n \) が同時対角化可能であるとは、ある正則行列 \( S \in M_n \) が存在して、\( S^{-1} A S \) と \( S^{-1} B S \) がともに対角行列になる...

補題 1.3.10. \( B_1 \in M_{n_1}, \dots, B_d \in M_{n_d} \) が与えられ、次のように直和で構成される行列 \( B \) を考える。B =\begin{bmatrix}B_1 & 0 & ...

定理 1.3.9. もし \( A \in M_n \) が \( n \) 個の異なる固有値を持つならば、\( A \) は対角化可能である。証明. 各 \( i = 1, \dots, n \) に対して、固有値 \(\lambda_i...

補題 1.3.8．\( A \in M_n \) の \(k \geq 2\) 個の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_k \) とし（すなわち、\(i \neq j\) ならば \( \lambda...

定理 1.3.7．\( A \in M_n \) が与えられているとする。このとき、\( A \) は次の形のブロック行列に相似である： (1.3.7.1)\begin{align}& \begin{pmatrix} B & C \\ 0 ...

定義 1.3.6　対角化可能もし \( A \in M_n \) がある対角行列に相似であるならば、\( A \) は対角化可能（diagonalizable）であると言います。

1.3.5練習問題例 1.3.5　同じ固有値を持つことは、相似であるための必要条件ではありますが、十分条件ではありません。次の2つの行列を考えてみましょう。 \begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0\end{bmatrix}...

系 1.3.4　\( A, B \in M_n \) とし、\( A \) が \( B \) に相似であるとします。このとき、次が成り立ちます。(a) \( A \) と \( B \) は同じ固有値を持つ。(b) もし \( B \) ...

定理 1.3.3　\( A, B \in M_n \) とします。もし \( B \) が \( A \) に相似であるならば、\( A \) と \( B \) は同じ特性多項式を持ちます。 証明．次を計算します。 p_B(t) = \d...

観察 1.3.2　相似は \( M_n \) 上の同値関係であり、すなわち相似関係は反射律・対称律・推移律を満たします（式 (0.11) 参照）。他の同値関係と同様に、相似は集合 \( M_n \) を互いに交わらない同値類に分割します。各...

定義 1.3.1　\( A, B \in M_n \) が与えられているとします。もし正則行列 \( S \in M_n \) が存在してB = S^{-1} A Sを満たすならば、\( B \) は \( A \) に相似であるといいます...