1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.24]コーシーの行列式恒等式
例 1.3.24. コーシーの行列式恒等式正則な \( A \in M_n \) と、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。このとき、\begin{aligned}\det(A + x y^{T})...
1.固有値・固有ベクトル・相似 1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.23]例 低ランク行列の固有値
定理 1.3.22 には多くの応用があり、そのいくつかは次章以降で現れる。ここではそのうちの 4 つのうちの 1 つを示す。例 1.3.23. 低ランク行列の固有値\( A \in M_n \) が \( A = X Y^{T} \) と因...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.22]定理 1.3.22.
定理 1.3.22. \( A \in M_{m,n} \)、\( B \in M_{n,m} \) で \( m \leq n \) とする。このとき、\( BA \) の \( n \) 個の固有値は、\( AB \) の \( m \...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.21]定理 1.3.21.
定理 1.3.21. \( F \subset M_n \) を対角化可能な行列族とする。このとき、\( F \) が可換族であることと、同時対角化可能族であることは同値である。さらに、任意の \( A_0 \in F \) と、\( A_...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.20]定義（同時対角化可能）
定義 1.3.20.同時対角化可能\( F \subset M_n \) が同時対角化可能であるとは、ある正則行列 \( S \in M_n \) が存在して、すべての \( A \in F \) に対して \( S^{-1} A S \)...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.19]補題 1.3.19.
次の補題は、多くの後続結果の核心となる。補題 1.3.19. \( F \subset M_n \) を可換な族とする。このとき、\(\mathbb{C}^n\) において、すべての \( A \in F \) の固有ベクトルとなる零でない...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.18]観察 1.3.18.
観察 1.3.18. \( n \geq 2 \) とする。ある \( A \in M_n \) が (1.3.17) 形式のブロック三角行列に相似であるのは、\( \mathbb{C}^n \) の非自明な部分空間が \( A \)-不変...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.16]定義 1.3.16.
定理 1.3.12 の結果を、任意個数の可換な対角化可能行列に拡張した形で得たい。そのための中心的な概念は、不変部分空間と、それに対応するブロック三角行列である。定義 1.3.16. \( \mathcal{F} \subseteq M_n...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.12]定理 1.3.12.
定理 1.3.12. \( A, B \in M_n \) が対角化可能であるとする。このとき、\( A \) と \( B \) が可換であることと、それらが同時対角化可能であることは同値である。証明. まず、\( A \) と \( B...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.11]定義 1.3.11.
定義 1.3.11. \( A, B \in M_n \) が同時対角化可能であるとは、ある正則行列 \( S \in M_n \) が存在して、\( S^{-1} A S \) と \( S^{-1} B S \) がともに対角行列になる...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.10]補題 1.3.10.
補題 1.3.10. \( B_1 \in M_{n_1}, \dots, B_d \in M_{n_d} \) が与えられ、次のように直和で構成される行列 \( B \) を考える。B =\begin{bmatrix}B_1 & 0 & ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.9]
定理 1.3.9. もし \( A \in M_n \) が \( n \) 個の異なる固有値を持つならば、\( A \) は対角化可能である。証明. 各 \( i = 1, \dots, n \) に対して、固有値 \(\lambda_i...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.8]補題
補題 1.3.8．\( A \in M_n \) の \(k \geq 2\) 個の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_k \) とし（すなわち、\(i \neq j\) ならば \( \lambda...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.7]定理
定理 1.3.7．\( A \in M_n \) が与えられているとする。このとき、\( A \) は次の形のブロック行列に相似である： (1.3.7.1)\begin{align}& \begin{pmatrix} B & C \\ 0 ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.6]定義（対角化可能）
定義 1.3.6 対角化可能もし \( A \in M_n \) がある対角行列に相似であるならば、\( A \) は対角化可能（diagonalizable）であると言います。
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.5]練習問題
1.3.5練習問題例 1.3.5 同じ固有値を持つことは、相似であるための必要条件ではありますが、十分条件ではありません。次の2つの行列を考えてみましょう。 \begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0\end{bmatrix}...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.4]系 1.3.4 相似
系 1.3.4 \( A, B \in M_n \) とし、\( A \) が \( B \) に相似であるとします。このとき、次が成り立ちます。(a) \( A \) と \( B \) は同じ固有値を持つ。(b) もし \( B \) ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.3]
定理 1.3.3 \( A, B \in M_n \) とします。もし \( B \) が \( A \) に相似であるならば、\( A \) と \( B \) は同じ特性多項式を持ちます。 証明．次を計算します。 p_B(t) = \d...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.2]相似関係
観察 1.3.2 相似は \( M_n \) 上の同値関係であり、すなわち相似関係は反射律・対称律・推移律を満たします（式 (0.11) 参照）。他の同値関係と同様に、相似は集合 \( M_n \) を互いに交わらない同値類に分割します。各...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.1]定義（相似・相似変換・置換変換）
定義 1.3.1 \( A, B \in M_n \) が与えられているとします。もし正則行列 \( S \in M_n \) が存在してB = S^{-1} A Sを満たすならば、\( B \) は \( A \) に相似であるといいます...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3]相似性
1.3 相似性私たちは、\( M_n \) に属する行列の相似変換が、複素数空間 \( \mathbb{C}^n \) 上での基底を変えた表現に対応することを知っています。したがって、相似を調べることは、ある線形変換に固有の性質や、その線形...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P23]
1.2.問題231.2.P23 もし \(A \in M_n\) が特異（singular）であり、かつ異なる固有値をもつならば、サイズ \(n - 1\) の正則な主要小行列（principal minor）をもつことを示せ。注意：主要小...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P22]
1.2.問題221.2.P22 (0.9.6.2) に示されている \(n \times n\) 循環行列 \(C_n\) を考える。与えられた \(\varepsilon > 0\) に対して、\(C_n(\varepsilon)\) を...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P21]
1.2.問題211.2.P21 \( A \in M_n \) と、ゼロでないベクトル \( x, v \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。\( c \in \mathbb{C} \)、\( v^* x = 1 ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P20]
1.2.問題201.2.P20 任意の \( A \in M_n \) に対して、次を示せ：\det(I + A) = 1 + E_1(A) + \cdots + E_n(A)ここで、\(E_k(A)\) は \(A\) の固有値の \(k...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P19]
1.2.問題191.2.P19 \( A = \in M_n \) のすべての成分が 0 または 1 であり、\( A \) のすべての固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) が正の実数であると仮定する。この...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P18]
1.2.問題181.2.P18 \( A \in M_3 \) とする。このとき、特性多項式 \( p_A(t) \) がp_A(t) = t^3 - (\mathrm{tr} A)\, t^2 + (\mathrm{tr} \,\math...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P17]
1.2.問題171.2.P17 \( A, B \in M_n \) とし、次の行列 \( C \) を考える：C =\begin{bmatrix}0_n & B \\A & 0_n\end{bmatrix}式 (0.8.5.13–14) ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P16]
1.2.問題161.2.P16 \( A \in M_n \) および \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。次を定義する：f(t) = \det\left(A + t x y^T\right)式 ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P15]
1.2.問題151.2.P15 \( A(t) \in M_n \) が与えられた連続な行列値関数であり、ベクトル値関数 \( x_1(t), \ldots, x_n(t) \in \mathbb{C}^n \) がそれぞれ常微分方程式系x...