固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.P7]
1.1.問題7問題 1.1.P7 \( A \in M_n \) がエルミート行列（Hermitian）であるとき、\( A \) のすべての固有値が実数であることを示しなさい。 エルミート行列とは、複素共役転置をとっても変わらない行列、す...
行列解析
固有値・固有ベクトル・類似性 固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.P6]
1.1.問題6次のことを示します。任意の冪零（nilpotent）行列のすべての固有値は 0 であること。また、零行列ではない冪零行列の例を示します。さらに、0 が唯一の冪零かつ冪等（idempotent）な行列である理由を説明します。解答...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.P5]
1.1.問題5\( A \in M_n \) が冪等（idempotent）である、すなわち \( A^2 = A \) であるとします。このとき、\( A \) の各固有値は 0 または 1 のいずれかであることを示しなさい。また、単位行...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.P4]
1.1.問題41.1.P4 次のブロック対角行列を考える。 \( A = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \)、ただし \( A_{ii} \in M_{n_i}...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.P3]問題3
1.1.P3\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。\( \lambda \) が \( A \) の実固有値であり、\( Ax = \lambda x \)、\( x \in \mathbb{C}^n \)、\( ...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.P2]問題2
1.1.問題2\( A \in M_n \) を与える。 (a) 各行の要素の和が1であることは、\( 1 \in \sigma(A) \) かつベクトル \( e = ^T \) が対応する固有ベクトル、すなわち \( Ae = e \)...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.P1]問題1
1.1.問題1\( A \in M_n \) が正則（逆行列を持つ）と仮定する。(1.1.7)によれば、これは \( 0 \notin \sigma(A) \) と同値である。任意の \( \lambda \in \sigma(A) \) ...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.9]定理 1.1.9.
定理 1.1.9. 任意の \( A \in M_n \) に対して、\( A \) は固有値を持つ。実際、与えられた非零ベクトル \( y \in \mathbb{C}^n \) について、次数が高々 \( n - 1 \) の多項式 \...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.8]観察 1.1.8.
観察 1.1.8. \( A \in M_n \) と \( \lambda, \mu \in \mathbb{C} \) を任意に与える。このとき、\( \lambda \in \sigma(A) \) であることと、\( \lambda...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.7]観察1.1.7
観察1.1.7行列 \( A \in M_n \) は特異行列であることと、\( 0 \in \sigma(A) \) であることは同値である。 証明．行列 \( A \) が特異であるとは、ある \( x \neq 0 \) に対して \...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.6]定理1.1.6（固有値–固有ベクトル）
定理 1.1.6 \( p(t) \) を次数 \( k \) の多項式とする。もし \( \lambda, x \) が \( A \in M_n \) の固有値–固有ベクトルの組であれば、\( p(\lambda), x \) は \(...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.4]定義（スペクトル）
定義 1.1.4. \( A \in M_n \) の スペクトルとは、\( A \) の固有値となるすべての \(\lambda \in \mathbb{C}\) の集合であり、この集合を \(\sigma(A)\) で表す。与えられた ...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1.2]定義（固有値・固有ベクトル）
定義（固有値・固有ベクトル）定義 1.1.2. \( A \in M_n \) とする。もしスカラー \( \lambda \) とゼロでないベクトル \( x \) が次の式を満たすとき、(1.1.3) A x = \lambda x, ...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.1]固有値–固有ベクトル方程式
1.1 固有値–固有ベクトル方程式行列 \( A \in M_n \) は、\( \mathbb{C}^n \) から \( \mathbb{C}^n \) への線形変換として考えることができます。すなわち、(1.1.1) A : x \ ...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.0.P2]対象行列の最大の実固有値
対象行列の最大の実固有値1.0.P2\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が対称行列であるとする。このとき、 \max \{ x^{T} A x : x \in \mathbb{R}^n, x^{T} x = 1 \} が...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.0.P1]実対称行列が少なくとも1つの実固有値を持つ
問題1.0.P1 ワイエルシュトラスの定理（付録E参照）を用いて、制約付き極値問題（1.0.3）が解を持つ理由を説明し、任意の実対称行列が少なくとも1つの実固有値を持つことを結論づけなさい。(1.0.3)\text{maximize } x...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.0.2]制約付き極値と固有値
1.0.2 制約付き極値と固有値本章で取り上げるもう一つの重要な概念は、固有ベクトルと固有値の考え方です。\( Ax \) が \( x \) のスカラー倍となるようなゼロでないベクトル \( x \) は、行列や線形変換の構造を解析するう...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.0.1]基底の変換と類似性
1.0.1 基底の変換と類似性すべての可逆行列は基底変換行列であり、またすべての基底変換行列は可逆である（0.10）。 したがって、もし \( B \) がベクトル空間 \( V \) のある基底で、\( T \) が \( V \) 上の...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.0]序論
1.0 序論各章の冒頭では、その章で扱う主要なテーマについて、概念的または応用的にどのように現れるかを示す例を用いて動機付けを行います。本書全体を通して、第0章で導入した記法と用語を使用します。読者は、知らない用語が出てきた場合には索引を参...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1]固有値・固有ベクトルと類似性
目次1.0 はじめに 1.1 固有値-固有ベクトル方程式 1.2 特性多項式と代数的重複度 1.3 相似性 1.4 左固有ベクトルと右固有ベクトル、そして幾何学的重複度
行列解析 [行列解析]
0 復習および雑記 (Review and Miscellanea)0.0 はじめに (Introduction)0.1 ベクトル空間 (Vector spaces)0.2 行列 (Matrices)0.3 行列式 (Determinant...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.5.16定理
定理 2.5.16（Fuglede–Putnam）. \( A \in M_n \)、\( B \in M_m \) が正規行列であり、\( X \in M_{n,m} \) とする。このとき、AX = XB \quad \Leftrigh...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.5.15定理
定理 2.5.15. \( \mathcal{N} \subseteq M_n(\mathbb{R}) \) を、非空な実正規行列の可換族とする。このとき、実直交行列 \( Q \) および非負整数 \( q \) が存在して、任意の \(...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.5.11系
系 2.5.11. \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。(a) \( A = A^\top \) であることと、実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、Q^\top A Q...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.5.8定理
定理 2.5.8. \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が正規行列であるとする。(a) 実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、次の形の実準対角行列と実直交類似である：Q^\top...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.5.7補題
補題 2.5.7. 行列 \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{R}) \) が正規行列であり、かつ共役な非実の固有値を持つと仮定する。このと...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.5.6定理
定理 2.5.6. \( A \in M_n \) がエルミート行列であり、固有値が \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) であるとします。また、\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.5.5定理
定理 2.5.5. \( N \subseteq M_n \) を正規行列の空でない族とします。このとき、次の2つは同値です：\( N \) が可換な族である。\( N \) が同時にユニタリ対角化可能な族である。任意の \( A_0 \i...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.5.4定理
定理 2.5.4. \( A \in M_n \) が正規行列であり、異なる固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) を持ち、それぞれの重複度が \( n_1, \ldots, n_d \) であるとしま...
ユニタリ類似性とユニタリ同値 2.5.3正規行列の定理
定理 2.5.3行列 \( A = \in M_n \) が固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) を持つとします。以下の主張はすべて同値です：\( A \) は正規行列である。\( A \) はユニタ...