5.ベクトルと行列のノルム

5.1.問題75.1.P7関数 \(\|x\|_1 = |x_1| + \cdots + |x_n|\) が \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムであることを示せ。ただしこれは偏角恒等式 (5.1.10) を満たさないので、いかなる...

5.1.問題65.1.P6 \(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであるとする。このときすべての \(x,y \in V\) に対して\mathrm{Re}\...

5.1.問題55.1.P5関数 \(\|x\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|\) を \(\mathbb{C}^n\) 上で考える。これが内積から導かれないノルムであることを示せ。

5.1.問題45.1.P4\(\|\cdot\|\) が内積から導かれるノルムであるとする。 (a) すべての \(x, y \in V\) に対して次の平行四辺形恒等式が成立することを示せ：\frac{1}{2} \left( \|x+y...

5.1.問題35.1.P3\(V\) の非零ベクトル \(x, y\) を与える。部分空間 \(\mathrm{span}\{x\}\) と \(\mathrm{span}\{y\}\) の間の角度 \(\theta\) を次で定義する：\...

5.1.問題25.1.P2\(\|\cdot\|\) が \(V\) 上の半ノルムであるとする。このとき \(V_0 = \{v \in V : \|v\| = 0\}\) が \(V\) の部分空間（\(\|\cdot\|\) の零空間と...

5.1.問題15.1.問題集以下の各問題において、\(V\) は \(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間とする。1.P1\(e_i\) を \(\mathbb{F}^n\) における第 ...

5.1.問題集以下の各問題において、\(V\) は \(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間とする。5.1.P1 \(e_i\) を \(\mathbb{F}^n\) における第 \(i\...

定理 5.1.8定理 5.1.8. \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) を体 \(F\) （\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間 \(V\) における半...

系 5.1.7系 5.1.7. 内積 \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) が実または複素ベクトル空間 \(V\) 上に与えられているとする。このとき、関数 \(\| \cdot \| : V \to [0, ...

5.1.4定理 5.1.4（コーシー–シュワルツの不等式）. 内積 \((\cdot , \cdot)\) が体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間 \(V\) に与えら...

5.1.3定義定義 5.1.3. \(V\) を体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間とする。写像\((\cdot, \cdot): V \times V \to F\)...

5.1.2補題補題 5.1.2. 実または複素ベクトル空間 \(V\) 上で、\( \lVert \cdot \rVert \) がベクトルの半ノルムであるならば、すべての \(x, y \in V\) に対して次が成り立つ：\lvert ...

5.1.1実または複素ベクトル空間におけるノルムの4つの公理は次の通りである。定義 5.1.1 \(V\) を体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間とする。写像 \(\|...