5.ベクトルと行列のノルム

5.3.問題25.3.P2\(m=2\) とする。次を示せ：\lVert x \rVert = |x_1 - x_2| + |x_2| \\\quad (x = ^T \in \mathbb{R}^2)は \( \mathbb{R}^2\)...

5.3.問題15.3.P1定理 (5.3.1) から、二つのノルムの和または最大値がノルムになることを導け。最小値（min）はどうか。（注）ここで「和」は \( \lVert x \rVert = \lVert x \rVert_{\alp...

5.2.参考文献.ミンコフスキーの不等式やその他の古典的不等式についての詳細な議論は Beckenbach and Bellman (1965) を参照せよ。また、(a) 等号が (5.2.1) において \(c=4\) で成立するのは \...

5.2.問題145.2.P14　\(A \in M_n\) とし、\(A = H + iK\)（ただし \(H, K\) はエルミート）と分解する（式 (0.2.5) 参照）。フロベニウスノルムにおける \(A\) の最良のエルミート近似、...

5.2.問題135.2.P13　前問の記法を用いると、(5.2.17) の上界は (5.2.9) の上界（最適値 \(c=4\)）以下であることを示せ。(5.2.18)\begin{align}& \Bigg\lVert \frac{x}{...

5.2.問題125.2.P12　前問の記法を用いると、(5.2.15) および (5.2.16) から次を導け。(5.2.17)\frac{\lVert x - y \rVert - \lvert \lVert x \rVert - \lV...

5.2.問題115.2.P11　\( \lVert \cdot \rVert \) を実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルムとし、\(x, y \in V\) を零でないベクトルとする。このとき次を証明しなさい。(5.2.15)\...

5.2.問題105.2.P10　\(A \in M_n\) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。シュールの不等式 (2.3.2a) が次の形で書ける理由を説明しなさい。(5.2.12)\su...

5.2.問題95.2.P9 \(-\infty \lt a \lt b \lt \infty\) とし、\(V\) を区間 \(\) 上の連続実数値関数からなる実内積空間（内積 (5.2.8) を持つもの）とする。与えられた \(f,g \...

5.2.問題85.2.P8\(V\) を実または複素内積空間とし、\(u \in V\) を単位ベクトル（導出されたノルムに関して）とする。任意の \(x \in V\) に対してx_{\perp u} = x - \langle x, u...

5.2.問題75.2.P7\(\lVert \cdot \rVert\) が実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルムであるとする。(a) 任意の非零 \(x, y \in V\) に対して、(5.2.9)\left\lVert \f...

5.2.問題65.2.P6もし \(\lVert \cdot \rVert\) が \(\mathbb{C}^n\) 上のユニタリ不変ノルムであるならば、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して\lVert x \rV...

5.2.問題55.2.P5\(x_0 \in \subset \mathbb{R}\) を与えられた点とする。このとき関数\lVert f \rVert_{x_0} = | f(x_0) |は \(C\) 上のセミノルムであるが、\(a \...

5.2.問題45.2.P4正の実数 \( w_1, \ldots, w_n \) が与えられ、\( p \geq 1\) とする。このとき加重 \(\ell_p\)-ノルム\lVert x \rVert = \left( w_1 |x_1|...

5.2.問題35.2.P3\(\mathbb{C}^n\) 上の任意のセミノルムは、あるノルム \(\lVert \cdot \rVert\) とある \( S \in M_n\) によって \(\lVert \cdot \rVert_S\...

5.2.問題25.2.P2各 \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して、\lVert x \rVert_\infty = \lim_{p \to \infty} \lVert x \rVert_pであることを示せ。

5.2.問題15.2.P1もし \(0 \lt p \lt 1\) ならば、\lVert x \rVert_p = \left( |x_1|^p + \cdots + |x_n|^p \right)^{1/p}は \(\mathbb{C}^...

5.1.注記さらなる参考文献.与えられたノルムが内積から導かれるための必要十分条件が平行四辺形恒等式であることを最初に証明したのは、P. Jordan と J. von Neumann によるものと思われる（On inner product...

5.1.問題155.1.P15 \( \lVert \cdot \rVert \) を内積から導かれるノルムとする。正の整数 \(m\) をとり、\(x_1, \ldots, x_m, z \in V\) とし、\(y = m^{-1}(x...

5.1.問題145.1.P14実数 \(x_1, \ldots, x_n\) が与えられているとする。その平均を \(\mu = n^{-1}\sum_{i=1}^n x_i\)、分散を \(\sigma = \left( n^{-1}\s...

5.1.問題135.1.P13\( \lVert \cdot \rVert \) を内積から導かれるノルムとする。次のフラフな証明の詳細を補って、フラフカの不等式を示せ：\lVert x + y \rVert + \lVert x + z ...

5.1.問題125.1.P12次の証明のスケッチを詳しく示しなさい。すなわち、平行四辺形恒等式 (5.1.9) が、ある実または複素ベクトル空間に与えられたノルムが内積から導かれるための十分条件であることを示す。まず、実数体 \(\math...

5.1.問題115.1.P11\(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであり、\(x, y \in V\) とする。このとき\|x+y\|^2 = \|x\|^...

5.1.問題105.1.P10(5.1.1) の公理 (1)（非負性）が公理 (2) と (3) から従うことを示せ。

5.1.問題95.1.P9\(\|\cdot\|\) が内積から導かれるノルムとし、\(x, y \in V\)、かつ \(y \neq 0\) とする。このとき：(a) \(\|x - \alpha y\|\) を最小化するスカラー \(...

5.1.問題85.1.P8\(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであるとする。このときすべての \(x, y \in V\) に対して\|x+y\| \, \...