5.ベクトルと行列のノルム

5.4.問題115.4.P11\(F^n\) 上のノルム \(\| \cdot \|\) と行列 \(A \in M_n(F)\) が与えられるとき、もし \(A\) が等長写像であれば \(\|Ax\| = \|x\|\) がすべての \...

5.4.問題105.4.P10\( \mathbb{C}^n \) 上の 2 つのノルム \(\|\cdot\|_\alpha\) と \(\|\cdot\|_\beta\) があり、ある定数 \(C>0\) で \(\|x\|_\alph...

5.4.問題95.4.P9\( \mathbb{R}^n \) または \( \mathbb{C}^n \) 上のノルム \( \| \cdot \| \) と標準基底ベクトル \(e_i\) を考える。なぜ \(\|e_i\|\|e_i\...

5.4.問題85.4.P8\( \mathbb{R}^n \) または \( \mathbb{C}^n \) 上の k-ノルムの双対ノルムは次の通りであることを示せ:\|y\|_D^{} = \max \{\|y\|_1, \|y\|_\i...

5.4.問題75.4.P7任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して、\(\|x\|_\infty = \lim_{p \to \infty} \|x\|_p\) を示せ。もし \(|x| > 0\) なら、\(\lim...

5.4.問題65.4.P6完備な実または複素ベクトル空間 \(V\) と、\(V\) 内の与えられた数列 \(\{x(k)\}\)、および \(V\) 上の与えられたノルム \( \| \cdot \| \) を考える。もしある \(M \...

5.4.問題55.4.P5式 (5.4.2) の関数 \( f_k \) は次の性質を持つことを示せ：各 \( x \) に対して \( f(x) \to 0 \)、さらに \( \|f_k - f_j\|_1 \to 0 \) （\( k...

5.4.問題45.4.P4実または複素ベクトル空間上の二つのノルムは、式 (5.4.5) のように二つの定数と不等式によって関係づけられるとき、等価であることを示せ。

5.4.問題35.4.P3\( 1 \le p_1 \lt p_2 \lt \infty \) の場合、\( \mathbb{C}^n \) または \( \mathbb{R}^n \) 上の対応する \( l_p \)-ノルム間の最適境界...

5.4.問題25.4.P2\( C_m(\|\cdot\|_\alpha, \|\cdot\|_\gamma) \) の境界を、\( C_m(\|\cdot\|_\alpha, \|\cdot\|_\beta) \) および \( C_m(...

5.4.問題15.4.P1式 (5.4.5) が次のように同値に表される理由を説明せよ：C_m(\|\cdot\|_\alpha, \|\cdot\|_\beta) \\\le \frac{\|x\|_\beta}{\|x\|_\alpha...

5.4.19定理 5.4.19. \( V = F^n \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）上のノルム \(\|\cdot\|\) について次が成り立つ：(a) \(\|\cdot\|\...

5.4.18定義 5.4.18. \( x = \in V = F^n \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）に対して、ベクトルの成分ごとの絶対値を \( |x| = \) と表す。ここで...

5.4.17定理 5.4.17. \( V = F^n \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）上のノルム \( \|\cdot\| \) が与えられ、定数 \( c > 0 \) が与えら...

5.4.16補題 5.4.16. \( V = F^n \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）上の前ノルム \( f(\cdot) \) および \( g(\cdot) \) が与えられ、...

5.4.13補題 5.4.13. \( V = F^n \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）上のプレノルム \( f(\cdot) \) に対して、任意の \( x, y \in V \...

5.4.12定義 5.4.12. \( V = F^{n} \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）上のプレノルム \( f(\cdot) \) に対して、次の関数を 双対ノルム と呼ぶ：f...

5.4.11定義 5.4.11. ノルム付き線形空間 \( V \) が、そのノルム \(\|\cdot\|\) に関して完備であるとは、\( V \) 内の任意のコーシー列が必ず \( V \) の点に収束することをいう。演習問題. ベク...

5.4.10定理 5.4.10. 有限次元の実または複素ベクトル空間 \( V \) 上に与えられたノルム \(\|\cdot\|\) を考える。ベクトルの数列 \(\{x^{(k)}\}\) が \( V \) のあるベクトルに収束するの...

5.4.9定義 5.4.9. ベクトル空間 \( V \) における数列 \(\{x^{(k)}\}\) が、あるノルム \(\|\cdot\|\) に関してコーシー列であるとは、任意の \(\varepsilon \gt 0\) に対して...

5.4.8系 5.4.8. \( V = F^n \) （ただし \( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）とし、\( f(\cdot) \) を \( V \) 上のプレノルムまたはノルムとする。...

ノルムの同値性と有限次元空間における収束の特徴ノルムの同値性の定義実または複素ベクトル空間上の2つのノルムが同値であるとは、あるベクトル列 \(\{x^{(k)}\}\) があるノルムに関してベクトル \(x\) に収束するとき、他方のノル...

5.4.6系 5.4.6. 有限次元の実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルム \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha} \) と \( \lVert \cdot \rVert_{\beta} \) を考える。...

5.4.5系 5.4.5. 有限次元の実または複素ベクトル空間 \(V\) 上に与えられたノルム \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha} \) と \( \lVert \cdot \rVert_{\beta} \) ...

5.4.4定理 5.4.4. \(f_{1}, f_{2}\) を体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上の有限次元ベクトル空間 \(V\) 上で定義された実数値関数とする。\(B = ...

5.4.3この補題では、与えられたベクトル空間内の有限個のベクトルを用いて定義される関数が、一様連続であることを示します。補題 5.4.3. \( \| \cdot \| \) を体 \(F\) （\(F = \mathbb{R}\) また...

5.4.2ここでは、関数列の収束性がノルムによってどのように異なるかを示す具体例を紹介します。有限次元の場合とは異なり、無限次元の空間では直感に反する現象が現れることがあります。例 5.4.2. 区間 \(\) 上の実数値または複素数値連続...

5.4.1定義 5.4.1. 実または複素ベクトル空間 \(V\) にノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が与えられているとする。ベクトルの数列 \(\{x^{(k)}\}\) がベクトル \(x \in V\) に...