6.固有値の位置と摂動

6.1.問題86.1.P8　\(A=\in M_n\) が厳密対角優位、すなわちすべての \(i=1,\dots,n\) に対して \( |a_{ii}| \gt R_i \) であるとする。このとき少なくとも一つの \(k\in\{1,\...

6.1.問題76.1.P7　\(A\in M_n\) が冪等行列（idempotent）であり \(A\neq I\) であると仮定する。すると \(A\) は厳密な対角優位（あるいは既約に厳密な対角優位）であり得ないことを示せ（参照：(6...

6.1.問題66.1.P6　\(A=\in M_n\) とし，ある \(i\) に対して \( |a_{ii}| \gt R_i \) が \(k\) 個の異なる値で成り立つとする。このとき主小行列（principal submatrice...

6.1.問題56.1.P5　行列 \(A\in M_n\) の n 個のゲルシュゴリン円板が互いに互いに素（互いに交わらない）であるとする。次を示せ。 (a) \(A\) が実行列ならば，\(A\) のすべての固有値は実数である。 (b) ...

6.1.問題46.1.P4　\(A\in M_n\) とし，(6.1.2) で定義された集合 \(G(A)\) を考える。本文中で「すべての固有値が \(G(A)\) に含まれる」という主張が (6.1.10a) を含意することを示した。逆...

6.1.問題36.1.P3　\(A==\in M_n\) とする。式 (6.1.5) を用いて次を示せ：\left| \det A \right|\le \prod_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^n |a_{ij}| ...

6.1.問題26.1.P2　次を示せ：\bigcap_{S\ \text{nonsingular}} G(S^{-1} A S) = \sigma(A),ここで交差はすべての正則行列 \(S\) についてとるものとする（すなわち，任意の相似...

6.1.問題6.1.P1　次の\(n\)-by-\(n\)system反復アルゴリズムを用いて線形方程式 \(Ax=y\) を解くことを考える。ここで \(A\) と \(y\) は与えられている。(i) \(B=I-A\) とおき，sys...

6.1.11本節では、行列の対角優位性に基づく非特異性の条件をさらに一般化する定理を述べる。この結果は、ゲルシュゴリンの円板定理とその変形に関連し、固有値が取りうる範囲の幾何的な理解に寄与する。定理 6.1.11　\( A = \in M_...

6.1.10厳密に対角優位である行列は、その構造上、ゼロ固有値をもたないことが知られている。この性質は、ゲルシュゴリンの円板定理を用いることで自然に導かれる。本節では、厳密対角優位行列に関する重要な結果をまとめる。定理 6.1.10　\( ...

6.1.9次に、対角優位（diagonally dominant）行列の定義を与える。この性質は、ゲルシュゴリンの円板定理を用いた固有値の評価と深く関係している。定義 6.1.9　\( A = \in M_n \) とする。行列 \( A ...

6.1.8次の系（Corollary）は、行列のスペクトル半径に関する有用な評価式を与えるものである。系 6.1.8　\( A = \in M_n \) とする。このとき次が成り立つ。\rho(A) \le \min_{p_1, \ldot...

6.1.6系 以下はゲルシュゴリン円盤定理の重み付き版に関する系の日本語訳である。対角行列での相似変換を導入することで、固有値の包含領域をより柔軟に（かつ必要に応じて任意の精度で）絞り込むことができる。系 6.1.6. \(A=\in M_...

6.1.5.系次の系（Corollary 6.1.5）は、行列のスペクトル半径とその要素の絶対値和との関係を示すものである。これは、行列のノルムと密接に関係している。もし \( A = \in M_n \) であるならば、次が成り立つ。\r...

6.1.3系本節では、ゲルシュゴリンの定理から導かれる系（Corollary 6.1.3）を示す。これにより、行列の固有値が複素平面上の特定の円盤（ゲルシュゴリン円）に必ず含まれることがわかる。定理より、行列 \( A = \in M_n ...

6.1.1ゲルシュゴリン円盤定理：固有値の位置に関する基準次に示すのは行列の固有値がどこに存在しうるかを簡便に見積もるための古典的な定理である。行列の対角成分と非対角成分の大きさの関係から、容易に計算できる円盤が固有値を必ず含むことが保証さ...