4.エルミート行列、対称行列、合同行列

4.5.問題264.5.P26\(μ ∈ C\) が非零であるとする。\(H_{2k}(μ)\) が\(H_{2k}(\overline{μ}) = H_{2k}(μ)\) と合同であるのは、\(μ\) が実数であるか、または \(|μ| ...

4.5.問題254.5.P25 標準ブロック \(\Gamma_k\) (4.5.24) のコスクエアが \(J_k ((−1)^{k+1})\) に相似であることを、次を検証して示せ：\Gamma_k^{-T} \Gamma_k =\be...

4.5.問題244.5.P24\(F = \{A_1, \dots, A_k\} ⊂ M_n\) を複素対称行列族、\(H = \{B_1, \dots, B_m\} ⊂ M_n\) をエルミート行列族とし、\(G = \{A_i \ove...

4.5.問題234.5.P23\(\{A_1, \dots, A_k\} ⊂ M_n\) を複素対称行列族とし、\(G = \{A_i \overline{A_j} : i, j = 1, \dots, k\}\) とする。もし \(U ∈...

4.5.問題224.5.P22\(B ∈ M_n\) がエルミートで、\(y ∈ C^n\)、\(a ∈ R\) が与えられており、次のように定める：A = \begin{pmatrix} B & y \\ y^* &a \end{pmat...

4.5.問題214.5.P21\(A ∈ M_n\) がエルミートであり、次のように分割されるとする：A = \begin{pmatrix} B &C \\ C^* &D \end{pmatrix}ここで B は非特異である。\(S = D...

4.5.問題204.5.P20\(A ∈ M_n\) とし、その特性多項式を \(p_A(t) = t^n + a_{n-1}(A)t^{n-1} + \cdots + a_1(A)t + a_0(A)\) とする。(a) 係数 \(a_i...

4.5.問題194.5.P19シルベスターの慣性則 (4.5.8) の代替証明の概略を詳述せよ。\(A, S ∈ M_n\) が非特異で \(A\) がエルミートであるとする。\(S = QR\) を QR 分解 (2.1.14) とし、\...

4.5.問題184.5.P18\(A, B ∈ M_n\) が対称で \(A\) が非特異であるとする。一般化特性多項式 \(p_{A,B}(t) = \det(tA - B)\) が \(n\) 個の異なる零点を持つ場合、\(A\) と ...

4.5.問題174.5.P17\(n×n\) 複素対称行列の集合における合同の互いに交わらない同値類はいくつあるか？\(n×n\) 実対称行列の集合ではいくつか？

4.5.問題164.5.P16\(n×n\) 複素エルミート行列の集合における ∗合同の互いに交わらない同値類はいくつあるか？\(n×n\) 実対称行列の集合ではいくつか？

4.5.問題154.5.P15(a) 反対角線より下の全ての要素がゼロであるハンケル行列は、最初の行の要素によって完全に決定される理由を説明せよ。(b) 標準ブロック \(\Delta_k\) (4.5.19) の逆行列は、反対角線より下の...

4.5.問題144.5.P14\(A ∈ M_n\) とし、\(A = H + iK\) で、\(H\) と \(K\) はエルミート、\(H\) は非特異とする。(a) (4.5.17), (4.5.18), (4.5.24) の主張を用...

4.5.問題134.5.P13\(U, V ∈ M_n\) が単位行列であるとする。\(U\) と \(V\) が ∗合同であるのは、かつそのときに限り相似であり、またそのときに限り同じ固有値を持つ場合であることを示せ。

4.5.問題124.5.P12前問を \(A\) がエルミートであると仮定して再考する。なぜ \(d\) の可能な値は 1 または 2 のみか？なぜ標準角は \(\theta_1 = 0\) または \(\theta_2 = \pi\) の...

4.5.問題114.5.P11\(A \in M_n\) が非零かつ正規であるとする。非零固有値を \(\lambda_1 = |\lambda_1| e^{i\theta_1}, \dots, \lambda_r = |\lambda_r...

4.5.問題104.5.P10\(A ∈ M_n\) とし、\(\text{rank } A = r\) および nullspace \(A =\) nullspace \(A^∗\) であるとする。\(A\) が rank princip...

4.5.問題94.5.P9\(A ∈ M_n\) とし、\(\text{rank } A = r\) とする。以下が同値である理由を説明せよ：(a) ∗合同正則化アルゴリズムが最初のステップで終了する、(b) nullspace \(A =...

4.5.問題84.5.P8\(A, S ∈ M_n\) とし、\(A\) はエルミート、\(S\) は非特異とする。\(A\) と \(SAS^∗\) の固有値を非減少順に並べる（4.2.1参照）。非零固有値 \(\lambda_k(A)\...

4.5.問題74.5.P7\(\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\) と \(\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\) は、∗合同および合同のいずれに...

4.5.問題64.5.P6\(\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\) と \(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\) が単位的合同によって同時対角...

4.5.問題4.5.P5実対称係数行列 \(A(x) = \) を持つ微分作用素 \(L\) (4.0.4) は、点 \(x ∈ D ⊂ \mathbb{R}^n\) で \(A(x)\) が非特異かつ全ての固有値が同符号であれば楕円型であ...

4.5.問題44.5.P4 (4.5.17(a)) の一般化を証明せよ：\(A_1, A_2, \dots, A_k ∈ M_n\) がエルミートで、\(A_1\) が非特異であるとする。ある非特異 \(T ∈ M_n\) が存在して \(...

4.5.問題34.5.P3\(A, B ∈ M_n\) がエルミートであるとする。 (a) \(A\) が \(B\) と*合同である場合、全ての \(k = 2, 3, \dots\) に対して \(A^k\) が \(B^k\) と ∗...

4.5.問題24.5.P2\(A, B ∈ M_n\) が反対称であるとする。ある非特異 \(S ∈ M_n\) が存在して \(A = SBS^T\) となるのは、かつそのときに限り \(\text{rank } A = \text{ra...

4.5.問題14.5.P1\(A, B ∈ M_n\) とし、\(B\) が非特異であるとする。ある \(C ∈ M_n\) が存在して \(A = BC\) となることを示せ。さらに、任意の非特異 \(S ∈ M_n\) に対して、\(S...

4.5.27定理定理 4.5.27. \(A, B ∈ M_n\) が非特異行列であるとする。このとき、\(A\) が \(B\) と合同であることは、\(A^{-T} A\) が \(B^{-T} B\) と相似であることと同値である。∗...

4.5.26定理 4.5.26. \(A, B ∈ M_p\) および \(C ∈ M_q\) が与えられたとする。このとき、\(A ⊕ C\) と \(B ⊕ C\) が合同であることは、\(A\) と \(B\) が合同であることと同値...

4.5.25定理定理 4.5.25. 任意の正方複素行列は、次の 3 種類の行列の直和に合同であり、その直和の順序を除いて一意に決定されます。タイプ 0: \(J_k(0), k = 1, 2, …\)タイプ I: \(\Xi_k, k =...