固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.3.8]補題
補題 1.3.8．\( A \in M_n \) の \(k \geq 2\) 個の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_k \) とし（すなわち、\(i \neq j\) ならば \( \lambda...
行列解析
固有値・固有ベクトル・類似性 固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.3.7]定理
定理 1.3.7．\( A \in M_n \) が与えられているとする。このとき、\( A \) は次の形のブロック行列に相似である： (1.3.7.1)\begin{align}& \begin{pmatrix} B & C \\ 0 ...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.3.6]定義（対角化可能）
定義 1.3.6 対角化可能もし \( A \in M_n \) がある対角行列に相似であるならば、\( A \) は対角化可能（diagonalizable）であると言います。
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.3.5]練習問題
1.3.5練習問題例 1.3.5 同じ固有値を持つことは、相似であるための必要条件ではありますが、十分条件ではありません。次の2つの行列を考えてみましょう。 \begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0\end{bmatrix}...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.3.4]系 1.3.4 相似
系 1.3.4 \( A, B \in M_n \) とし、\( A \) が \( B \) に相似であるとします。このとき、次が成り立ちます。(a) \( A \) と \( B \) は同じ固有値を持つ。(b) もし \( B \) ...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.3.3]
定理 1.3.3 \( A, B \in M_n \) とします。もし \( B \) が \( A \) に相似であるならば、\( A \) と \( B \) は同じ特性多項式を持ちます。 証明．次を計算します。 p_B(t) = \d...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.3.2]相似関係
観察 1.3.2 相似は \( M_n \) 上の同値関係であり、すなわち相似関係は反射律・対称律・推移律を満たします（式 (0.11) 参照）。他の同値関係と同様に、相似は集合 \( M_n \) を互いに交わらない同値類に分割します。各...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.3.1]定義（相似・相似変換・置換変換）
定義 1.3.1 \( A, B \in M_n \) が与えられているとします。もし正則行列 \( S \in M_n \) が存在してB = S^{-1} A Sを満たすならば、\( B \) は \( A \) に相似であるといいます...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.3]類似性
1.3 類似性私たちは、\( M_n \) に属する行列の相似変換が、複素数空間 \( \mathbb{C}^n \) 上での基底を変えた表現に対応することを知っています。したがって、相似を調べることは、ある線形変換に固有の性質や、その線形...
固有値・固有ベクトル・類似性 [行列解析1.2.P23]
1.2.問題231.2.P23 もし \(A \in M_n\) が特異（singular）であり、かつ異なる固有値をもつならば、サイズ \(n - 1\) の正則な主要小行列（principal minor）をもつことを示せ。注意：主要小...