行列解析 [行列解析9.F]付録：標準対（Canonical Pairs）
標準対（Canonical Pairs）任意の複素正方行列 \( A \) は、一意的に次のように表すことができる。A = S(A) + C(A)ここで、\( S(A) = \frac{1}{2}(A + A^{T}) \) は対称行列であ...
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行列解析 行列解析 [行列解析9.E]付録：連続性・コンパクト性とワイエルシュトラスの定理
連続性・コンパクト性とワイエルシュトラスの定理有限次元の実または複素ベクトル空間 \( V \) にノルム \( \| \cdot \| \) が与えられているとする。点 \( x \in V \) に対して、半径 \( \varepsil...
行列解析 [行列解析9.D]付録：多項式の零点と行列の固有値の連続性
多項式の零点と行列の固有値の連続性多項式の零点がその係数に対して連続的に依存するという事実は重要であり、通常は複素解析を用いて証明される。この性質は、次数 \( n \ge 1 \) の複素係数多項式において、その \( n \) 個の零点...
行列解析 [行列解析9.C]付録：代数学の基本定理（The Fundamental Theorem of Algebra）
代数学の基本定理（The Fundamental Theorem of Algebra）複素数 \( \mathbb{C} \) が導入された歴史的な動機の一つは、実係数多項式が必ずしも実数の零点（根）をもたないことにあった。たとえば、次の...
行列解析 [行列解析9.B]付録：凸集合と凸関数
凸集合と凸関数（Convex Sets and Functions）ベクトル空間 \( V \) が実数を含む体上のベクトル空間であるとする。\( V \) の要素 \( v_1, \ldots, v_k \in V \) に対して、凸結合...
行列解析 [行列解析9.A]付録：複素数の基本的な定義と性質
9.複素数の基本的な定義と性質複素数とは、実数 \( a, b \) と記号 \( i \) を用いて \( z = a + ib \) の形に表される数のことである。ここで \( i \) は形式的な記号であり、\( i^2 = -1 \...
行列解析 [行列解析9.0]主要な記号一覧
行列解析で使用している記号や用語の簡単な説明です。
行列解析 [行列解析9]付録
目次付録 A (Appendix A) 複素数 (Complex Numbers)付録 B (Appendix B) 凸集合および関数 (Convex Sets and Functions)付録 C (Appendix C) 代数の基本定理...
8.正および非負行列 [行列解析8.7]注記
注と参考文献 定理 8.7.2 は G. Birkhoff により “Tres observaciones sobre el álgebra lineal”, Univ. Nac. Tucumán Rev. Ser. A 5 (1946) ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P15]
8.7.問題158.7.P15 (8.7.2) における上界 \( n^2 - n + 1 \) を、\( (n^2 - n + 1) - (n - 1) = n^2 - 2n + 2 \) に改良できることを示せ。詳細を以下の手順で説明せ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P14]
8.7.問題148.7.P14 \( A \in M_n \) が二重確率かつ既約でない（reducible）場合、\( A \) は置換相似により、二重確率行列 \( A_1, A_2 \) からなる直和 \( A_1 \oplus A_...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P13]
8.7.問題138.7.P13 \( \| \! | \cdot \| \! | \) をユニタリ不変な行列ノルムとする。このとき、任意の二重確率行列 \( A \in M_n \) に対して \( \| \! |A\| \! | \le ...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P12]
8.7.問題128.7.P12 \( A \in M_n \) を二重確率・対称・半正定値行列とし、\( A^{1/2} \) をその半正定値平方根とする。 (a) \( A^{1/2} e = e \) であることを示せ。したがって、\(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P11]
8.7.問題118.7.P11 表現式 (8.7.3) が一意でないことを示せ。
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P10]
8.7.問題108.7.P10 2×2 の二重確率行列は対称であり、対角要素が等しいことを示せ。
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P9]
8.7.問題98.7.P9 \( A \in M_n \) を二重確率行列とする。 (a) \( A \) がちょうど \( n + 1 \) 個の正の要素をもつことはできないことを示せ。 (b) \( A \) が置換行列でない場合、\(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P8]
8.7.問題88.7.P8 \( n \times n \) の二重確率行列の集合がコンパクトかつ凸であることを踏まえ、ある行列がその集合の極端点であることと、置換行列であることが同値である理由を説明せよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P7]
8.7.問題78.7.P7 任意の置換行列が、二重確率行列の凸集合における極端点（extreme point）であることを示せ。さらに、\( A \) が置換行列である場合に、どのような追加の性質がいえるか述べよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P6]
8.7.問題68.7.P6 \( \| \! | \cdot \| \! | \) を、\( \mathbb{R}^n \) 上の置換不変ノルム \( \| \cdot \| \) によって誘導される行列ノルムとする。このとき、任意の二重確...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P5]
8.7.問題58.7.P5 \( A \in M_n \) を二重確率行列とし、その最大特異値を \( \sigma_1(A) \) とする。\( \sigma_1(A) = \rho(A) = 1 \) を、すなわち二重確率行列はスペクト...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P4]
8.7.問題48.7.P4 \( A \in M_n \) を非負で零でない行列とし、正の固有ベクトルをもつとする。このとき、\( A \) のすべての最大絶対値の固有値が半単純であることを説明せよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P3]
8.7.問題38.7.P3 \( A \in M_n \) を非負で零でない行列とし、正の固有ベクトル \( x = \) をもつとする。\( D = \mathrm{diag}(x_1, \dots, x_n) \) とおく。このとき、\...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P2]
8.7.問題28.7.P2 \( A \in M_n \) を確率行列とし、\( |\lambda| = 1 \) を満たす固有値 \( \lambda \) を考える。ただし、\( \lambda = 1 \) はそのような固有値の一つで...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.P1]
8.7.問題18.7.P1 \( M_n \) における確率行列および二重確率行列の集合が、それぞれ行列積に関して半群（セミグループ）を構成することを示せ。すなわち、\( A, B \in M_n \) が（それぞれ二重）確率行列であるなら...
8.正および非負行列 [行列解析8.7]問題集
8.7.問題集8.7.P1 \( M_n \) における確率行列および二重確率行列の集合が、それぞれ行列積に関して半群（セミグループ）を構成することを示せ。すなわち、\( A, B \in M_n \) が（それぞれ二重）確率行列であるなら...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.6]定理：フォン・ノイマンのトレース定理（平方行列の場合）
8.7.6 フォン・ノイマンのトレース定理（平方行列の場合）定理 8.7.6（フォン・ノイマン）\( A, B \in M_n \) の特異値をそれぞれ大きい順に並べて\sigma_1(A) \ge \cdots \ge \sigma_n(...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.5]補題：二重劣確率行列と二重確率行列の関係
8.7.5 二重劣確率行列と二重確率行列の関係補題 8.7.5.\( A \in M_n \) が二重劣確率行列であるとする。このとき、ある二重確率行列 \( S \in M_n \) が存在して \( A \le S \) が成り立つ。証...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.4]系：二重確率行列上の凸関数の最大値と凹関数の最小値
8.7.4 二重確率行列上の凸関数の最大値と凹関数の最小値系 8.7.4. 二重確率 \( n \times n \) 行列の集合上で定義された実数値関数 \( f \) が凸関数（または凹関数）であるとき、凸関数 \( f \) の最大値...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.2]定理（ビルコフの定理）：二重確率行列の凸結合表現
8.7.2 定理（ビルコフの定理）：二重確率行列の凸結合表現定理 8.7.2（ビルコフの定理） 行列 \( A \in M_n \) が二重確率行列であることと、次の条件が成り立つことは同値である。 すなわち、置換行列 \( P_1, P_...
8.正および非負行列 [行列解析8.7.1]補題：非単位二重確率行列における置換の存在
8.7.1 補題：非単位二重確率行列における置換の存在補題 8.7.1 \( A = \in M_n \) を、単位行列ではない二重確率行列とする。このとき、恒等置換でない置換 \( \sigma \) が存在し、次を満たす： a_{1\s...