8.5.
以下の問題は、非負行列の原始性（primitivity）に関する定義、性質、および関連する理論の理解を深めるための演習である。
既約性（irreducibility）やスペクトル半径、冪乗行列の挙動などを確認しながら、定理8.5節の内容を具体例とともに考察する。
8.5.P1
原始行列の別の定義として、次のようなものが提案されることがある。
非負正方行列 \( A \) が原始であるとは、ある正の整数 \( m \) が存在して \( A^m \gt 0 \) となる場合をいう。
この定義は式 (8.5.0) と整合しているか？
8.5.P2
\( A \in M_n \) が非負かつ原始であり、\( A^m = [a^{(m)}_{ij}] \) とする。
すべての \( i, j = 1, \dots, n \) について次を示せ。
\lim_{m \to \infty} (a^{(m)}_{ij})^{1/m} = \rho(A)
8.5.P3
\( A, B \in M_n \) が非負かつ原始であるとき、各 \( m \gt 0 \) に対して \( A^m \) は原始であることが知られている。
しかし、積 \( AB \) は必ずしも原始であるとは限らないことを例を用いて示せ。
8.5.P4（Wielandtの行列）
\( n \ge 3 \) とし、\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を次のように定める。
a_{1,2} = a_{2,3} = \dots = a_{n-1,n} = a_{n,1} = a_{n,2} = 1,
\quad \text{その他の成分は } 0
このとき、有向グラフ \( \Gamma(A) \) を構成し、\( A \) が既約かつ原始であることを示せ。 さらに、\( (A^{n^2 - 2n + 1})_{1,1} = 0 \) かつ \( A^{n^2 - 2n + 2} \gt 0 \) であることを確かめよ。
8.5.P5
\( A \in M_n \) を非負かつ既約とする。 少なくとも1つの主対角要素が正であるならば、\( A \) は原始であることを説明せよ。 この十分条件は \( n = 2 \) の場合には必要でもあるが、\( n \ge 3 \) の場合にはそうでないことを示せ。
8.5.P6
定理 (8.5.9) の証明を詳細に与えよ。
8.5.P7
本節の終わりで述べられた計算上のショートカット（効率化手法）について議論せよ。
8.5.P8
\( A \in M_n \) が冪等行列（idempotent）であるとき、\( A = \lim_{m \to \infty} A^m \) である。
もし \( A \) が非負かつ既約で冪等ならば、\( A \) は階数1の正行列であることを示せ。
8.5.P9
\( A \in M_n \) を非負行列とする。 \( A \) が原始でなくても、次の極限が存在し得ることを例で示せ。
\lim_{m \to \infty} (\rho(A)^{-1} A)^m
実際、\( A \) が既約でなく、最大絶対値の固有値を複数もつ場合でも、この極限が存在することがある。
8.5.P10
(8.5.1) の部分的逆命題を示せ。すなわち、\( A \in M_n \) が非負かつ既約であり、
\lim_{m \to \infty} (\rho(A)^{-1} A)^m
が存在するならば、\( A \) は原始であることを示せ。
8.5.P11
次の行列を考える。
A =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\( A \) は既約であるが、\( A^2 \) は既約でないことを示せ。 これは (8.5.5) と矛盾するか？
8.5.P12
\( A \in M_n \) を非負かつ既約な行列とする。 次の極限が存在しない例を挙げよ。
\lim_{m \to \infty} (\rho(A)^{-1} A)^m
8.5.P13
\( \epsilon \gt 0 \) とし、\( A \in M_n \) を非負かつ既約な行列とする。 このとき \( A + \epsilon I \) は原始であることを証明せよ。 さらに、任意の非負既約行列は非負原始行列の極限として表されることを結論せよ。
問題 8.5.P14
非負行列 \( A = [a_{ij}] \) が「組合せ的対称（combinatorially symmetric）」であるとは、すべての \( i, j = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ij} \gt 0 \) であることと \( a_{ji} \gt 0 \) であることが同値である場合をいう。
\( A \) が組合せ的対称であり、かつ原始行列であるとき、次を示せ：
A^{2n - 2} \gt 0
さらに、\( A \) の結合グラフ \( \Gamma(A) \) のサイクル構造についてより多くの情報が与えられた場合、原始指数 \( \gamma(A) \) の上界をより強くできるかを論じよ。
問題 8.5.P15
\( n \) が素数であり、\( A \in M_n \) が非負・既約・非特異（正則）であるとする。このとき、次のいずれかが成り立つことを示せ。
(a) \( A \) は原始行列である。
(b) \( A \) は多項式 \( x^n - \rho(A)^n = 0 \) のフロベニウスの同伴行列に相似であり、そのすべての固有値の絶対値は最大である。
問題 8.5.P16
非負行列 \( A \in M_n \) のペロンベクトルとスペクトル半径を求める1つの方法として、「べき乗法（power method）」がある。次の手順を考える。
x^{(0)} \text{ は任意の正ベクトル}, \quad \sum_{i=1}^{n} x^{(0)}_i = 1
y^{(m+1)} = A x^{(m)} \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)
x^{(m+1)} = \frac{y^{(m+1)}}{\sum_{i=1}^{n} y^{(m+1)}_i}
\( A \) が原始行列である場合、ベクトル列 \( x^{(m)} \) は \( A \) の右ペロンベクトルに収束することを示せ。また、数列 \( \sum_{i=1}^{n} y^{(m+1)}_i \) は \( A \) のペロン根に収束することを示せ。収束の速さについても考察せよ。また、原始性の仮定が本当に必要かどうかを論ぜよ。
問題 8.5.P17
非負行列 \( A \in M_n \) に対して、\( A \) の原始性は、ゼロ要素の位置のみに依存し、非ゼロ要素の大きさには依存しないことを示せ。
問題 8.5.P18
\( A \in M_n \) が非負・既約・対称であるとき、次が成り立つことを示せ：
A \text{ は原始的 } \iff A + \rho(A) I \text{ は非特異である。}
特に、\( A \) が半正定値であれば、この条件は満たされる。
非負対称行列で要素が 0 または 1 のものは、無向グラフの隣接行列として自然に現れる。
問題 8.5.P19
次の各行列の固有値および固有ベクトルを計算し、それらを本章の主要概念（非負、既約、原始、正など）に従って分類せよ。
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \\ \quad \\
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad
問題 8.5.P20
(8.5.7) の証明において、行列 \( X_{11} \) および \( X_{12} \) の各列が少なくとも1つの非ゼロ要素を含む理由、および \( Y_{21} \gt 0 \) である理由を説明せよ。
参考文献
Romanovsky の定理の証明については、V. Romanovsky, Recherches sur les chaînes de Markoff, Acta Math. 66 (1936), 147–251 を参照。
非負原始行列 \( A \in M_n \) に対して、Wielandt の定理は \( A^{(n-1)^2 + 1} \gt 0 \) を主張する。最小多項式の次数を \( m \) としたときのより一般的な結果 \( A^{(m-1)^2 + 1} \gt 0 \) の証明については、J. Shen, Proof of a conjecture about the exponent of primitive matrices, Linear Algebra Appl. 216 (1995), 185–203 を参照。
行列解析の総本山
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