[行列解析8.5.4]補題：対角成分が正の既約非負行列は原始行列

8.5.4 補題：対角成分が正の既約非負行列は原始行列である
- 証明
- 演習
行列解析の総本山

8.5.4 補題：対角成分が正の既約非負行列は原始行列である

もし \( A \in M_n \) が既約で非負行列であり、かつその主対角成分がすべて正であるならば、\( A^{n-1} \gt 0 \) である。したがって、\( A \) は原始行列である。

証明

すべての主対角成分が正であると仮定する。すなわち、

\alpha = \min\{ a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn} \} \gt 0

とおく。また、次のように定義する。

B = A - \operatorname{diag}(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn})

このとき \( B \) は非負であり、\( A \) が既約であるため \( B \) も既約である。また、

A \ge \alpha I + B = \alpha \bigl( I + \tfrac{1}{\alpha} B \bigr)

が成り立つ。補題 (8.4.1) により次が従う。

A^{n-1} \ge \alpha^{\,n-1} \bigl( I + \tfrac{1}{\alpha} B \bigr)^{n-1} \gt 0

したがって、\( A^{n-1} \) のすべての成分は正であり、\( A \) は原始行列である。

演習

もし \( A \in M_n \) が非負行列で、かつ主対角成分がすべて正であるとする。また、\( A^m \) の \( (i, j) \) 成分が正であると仮定する。このとき、任意の整数 \( p \ge 1 \) に対して、\( A^{m+p} \) の \( (i, j) \) 成分も正であることを説明せよ。

なお、既約な非負行列が冪によって既約でなくなることはあり得るが、非負で原始的な行列のすべての冪は原始行列である。