7.8.9 定理 7.8.9（コテリャンスキーの不等式）
定理 7.8.9（Koteljanskiの不等式）．
\( A \in M_n \) を正定値行列とし、\( \alpha, \beta \subset \{1, \ldots, n\} \) とする。
このとき次の不等式が成り立つ。
(\det A[\alpha \cup \beta])(\det A[\alpha \cap \beta]) \le (\det A[\alpha])(\det A[\beta])
証明．
一般性を失うことなく、\( \alpha \cup \beta = \{1, \ldots, n\} \) と仮定してよい（そうでない場合は、主小行列 \( A[\alpha \cup \beta] \) の範囲で考えればよい）。
また、\( \alpha \cap \beta \) が空でないと仮定してよい（もし空であれば、\( \beta = \alpha^{c} \) となり、式 (7.8.10) は式 (7.8.6) に帰着する）。
さらに、\( \alpha^{c} \) および \( \beta^{c} \) がともに空でないと仮定できる（もし \( \alpha^{c} \) が空であれば、\( \alpha = \{1, \ldots, n\} \) となり、式 (7.8.10) は自明である）。
これら3つの仮定により、\( \alpha^{c} \) と \( \beta^{c} \) は互いに素であり、かつ空でないことが保証される。
ここでの戦略は、ヤコビの恒等式 (0.8.4.2) を用いて \( \det A[\alpha \cap \beta] \) を適切な形に変形し、前の補題を適用し、その後再びヤコビの恒等式を利用することである。
次を計算する：
\begin{aligned}
\frac{\det A[\alpha \cap \beta]}{\det A}
& = \det A^{-1}[(\alpha \cap \beta)^{c}] \\
& = \det A^{-1}[\alpha^{c} \cup \beta^{c}] \\
& \le (\det A^{-1}[\alpha^{c}])(\det A^{-1}[\beta^{c}]) \\
& = \frac{\det A[\alpha]}{\det A} \cdot \frac{\det A[\beta]}{\det A}
\end{aligned}したがって次の不等式が得られる。
(\det A)(\det A[\alpha \cap \beta]) \le (\det A[\alpha])(\det A[\beta])
演習．
我々は式 (7.8.10) を式 (7.8.6) から（式 (7.8.9) を経由して）導いた。
式 (7.8.10) が式 (7.8.6) を含意することを示し、コテリャンスキーの不等式がアダマールの不等式と同値であることを結論せよ。
アダマールの不等式の別の同値な形として、Szász によるものがある。
各 \( k \in \{1, \ldots, n\} \) に対し、
\( P_k(A) \) を \( A \in M_n \) の全ての
\( k \times k \) 主小行列の積とする。
ここで \( P_n(A) = \det A \)、および \( P_1(A) = a_{11} \cdots a_{nn} \) であるから、アダマールの不等式 (7.8.2) は次のように書き換えられる：
P_n(A) \le P_1(A)
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