7.7.問題集
7.7.P1
次の行列を考える。
\begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} と
\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}
そして、(7.7.4(c)) の含意が逆には成り立たない理由を説明せよ。
ただし、\(A, B \in M_n\) がエルミート行列であり、
\(A = U \Lambda U^*\)、\(B = V M V^*\) がスペクトル分解で
\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\)、
\(M = \mathrm{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)\)、
\(\lambda_1 \le \dots \le \lambda_n\) および
\(\mu_1 \le \dots \le \mu_n\)、さらに
\(\Lambda \succeq M\) ならば、単位行列 \(W\) が存在して
\(W^* A W \succeq B\) となることを示せ。
実際には \(W = UV^*\) と取ることができる。
7.7.P2
\(A_1, A_2, B_1, B_2 \in M_n\) がエルミート行列であるとする。
もし \(A_1 \succeq B_1\) および \(A_2 \succeq B_2\) ならば、\(A_1 + A_2 \succeq B_1 + B_2\) を示せ。
7.7.P3
(7.7.4(b)) の主張は改善できる。
(7.7.8) を用いて、もし \(A \lt B \lt 0\) ならば \(A^{1/2} \succeq B^{1/2}\) となることを示せ。
7.7.P4
\(A, B, C, D \in M_n\) がエルミート行列であるとする。
\(A \succeq B \succeq 0\) および \(C \succeq D \succeq 0\) のとき、\(A \circ C \succeq B \circ D \succeq 0\) であることを示せ。
7.7.P5
\(A, B \in M_n\) がエルミート行列であり、\(\alpha \subset \{1, \dots, n\}\) の場合、\(A \succeq B\) ならば \(A[\alpha] \succeq B[\alpha]\) を示せ。
7.7.P6
\(A, B \in M_n\) が半正定値であるとする。
\(A \succeq B\) のとき、\(\mathrm{range}\, B \subseteq \mathrm{range}\, A\) を示せ。
7.7.P7
\(A \in M_n\)、\(y \in \mathbb{C}^n\) が非ゼロであるとする。
\(Ax = y\) となる \(x \in \mathbb{C}^n\) が存在し、かつ \(\|x\|_2 \succeq 1\) であることが、\(AA^* \succeq yy^*\) と同値であることを示せ。
7.7.P8
H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix} \in M_n
が正定値であり、\(A \in M_k\)、\(\alpha = \{1, \dots, k\}\) とする。
(7.7.15) の証明を検討し、\(H^{-1}[\alpha] \succeq (H[\alpha])^{-1}\) が成り立つのは \(B\) がフル列ランクである場合に限る理由を説明せよ。
7.7.P9
H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix} \succeq 0
とする。\(\min\{\mathrm{rank}\, A, \mathrm{rank}\, C\} \ge \mathrm{rank}\, B\) を示せ。
特に、\(B\) が正方かつ正則であれば \(A\) および \(C\) は正定値である。
7.7.P10
\(A \in M_n\) が正定値、\(x, y \in \mathbb{C}^n\) のとき、\((x^* A x)(y^* A^{-1} y) \ge |x^* y|^2\) を示せ。
7.7.P11
H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix}
が半正定値であり、\(A, C \in M_p\) のとき、\((\det A)(\det C) \ge |\det B|^2\) を示せ。\(H\) が正定値の場合は何が言えるか。
7.7.P12
\(A, B \in M_n\) とし、
Z = \begin{pmatrix} I & A \\ B^* & I \end{pmatrix}
とする。
ZZ^* = \begin{pmatrix} I + AA^* & A + B \\ (A + B)^* & I + B^*B \end{pmatrix}
および \(|\det(A + B)|^2 \le (\det(I + AA^*))( \det(I + BB^*) )\) を示せ。
7.7.P13
\(A, B \in M_n\) がエルミート行列、\(\alpha \in (0,1)\) とする。
\(\alpha A^2 + (1-\alpha) B^2 \succeq (\alpha A + (1-\alpha) B)^2 + \alpha (1-\alpha)(A-B)^2 \succeq (\alpha A + (1-\alpha) B)^2\) を確認せよ。
これにより、\(f(t) = t^2\) がエルミート行列上で厳密凸であることが示される。
7.7.P14
正定値行列 \(A, B \in M_n\) および \(\alpha \in (0,1)\) とする。
(a) 次を示せ。 \(\alpha A^{-1} + (1-\alpha) B^{-1} \succeq (\alpha A + (1-\alpha) B)^{-1}\)、等号成立は \(A = B\) のときに限る。したがって、\(f(t) = t^{-1}\) は正定値行列上で厳密凸である。
7.7.P15
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) は半正定値、\(B = [b_{ij}] \in M_n\) はエルミート行列であり、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^* B x|\) が成り立つとする。
(a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) および任意の \(k = 1, 2, \dots\) に対して \(x^* [a_{ij}^k] x \ge |x^* [b_{ij}^k] x|\) を示せ。
(b) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* [e^{a_{ij}}] x \ge |x^* [e^{b_{ij}}] x|\) を示せ。
7.7.P16
\(A \in M_n\) が半正定値、\(B \in M_n\) が対称行列のとき、次の条件が同値であることを示せ。
(a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^T B x|\)。
(b) 任意の \(x, y \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x + y^* A y \ge 2 |x^T B y|\)。
(c) 任意の \(x, y \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* \bar{A} x + y^* A y \ge 2 |x^* B y|\)。
(d)
H = \begin{pmatrix} \bar{A} & B \\ \bar{B} & A \end{pmatrix}
が半正定値である。
(e) \(B = \bar{A}^{1/2} X A^{1/2}\) を満たす対称収縮行列 \(X \in M_n\) が存在する。 また、A が正定値の場合、次の条件も (c) と同値である。
(f) \(\rho(\bar{B} \bar{A}^{-1} B A) \le 1\)。
(g) \(\sigma_1(\bar{A}^{-1/2} B A^{-1/2}) \le 1\)。
7.7.P17
\(A, B, C, D \in M_n\) とする。A と C は半正定値、B と D は対称行列である。
任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^T B x|\) および \(x^* C x \ge |x^T D x|\) が成り立つなら、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* (A \circ C) x \ge |x^T (B \circ D) x|\) を示せ。
7.7.P18
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) は半正定値、\(B = [b_{ij}] \in M_n\) は対称行列であり、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* A x \ge |x^T B x|\) が成り立つとする。
(a) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) および任意の \(k = 1,2,\dots\) に対して \(x^* [a_{ij}^k] x \ge |x^T [b_{ij}^k] x|\) を示せ。
(b) 任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して \(x^* [e^{a_{ij}}] x \ge |x^T [e^{b_{ij}}] x|\) を示せ。
7.7.P19
単位円上で複素解析関数 \(f\) があり、\(f(0) = 0\) および \(f'(0) = 1\) と正規化されているとする。
Grunsky 不等式 (4.4.1) を考える。次が成り立つ理由を説明せよ。
\sum_{i,j=1}^n \frac{x_i \bar{x}_j}{1 - z_i \bar{z}_j} \ge
\left|
\sum_{i,j=1}^n x_i x_j
\left(
\frac{z_i z_j}{f(z_i) f(z_j)} \frac{}{}
\frac{f(z_i) - f(z_j)}{z_i - z_j}
\right) ^{\pm 1} \right|
任意の \(z_1, \dots, z_n \in \mathbb{C}\) (\(|z_i| \lt 1\))、任意の \(x_1, \dots, x_n \in \mathbb{C}\)、任意の \(n = 1,2,\dots\) に対して成り立つのは、f が単射である場合に限る。
7.7.P20
(a) なぜ (7.7.7(e)), (7.7.9(b)), (7.7.11(d)) の収縮行列 \(X\) が \(X = (A^\dagger)^{1/2} B (C^\dagger)^{1/2}\)（ムーア–ペンローズ逆行列）で表せるのか説明せよ。同様に (7.7.12(d)) および (7.7.P16(d)) でも表せる。
(b) (7.3.P8) を再検討し、(7.7.9) のエルミートブロック行列 \(H\) が半正定値であるのは、A が半正定値かつ \(C \succeq B^* A^\dagger B\) のときに限ることを説明せよ。
7.7.P21
正定値行列 \(A \in M_n\) および半正定値行列 \(B \in M_n\) とする。
(a) 正のスカラー \(c\) が存在して \(cA \succeq B\) となることを示せ。
(b) 最小の \(c\) は \(c = \rho(A^{-1} B)\) であることを示せ。
(c) 任意の \(X \succeq 0\) に対して \(c A \circ X \succeq X\) となる最小の正のスカラー \(c\) は \(c = e^T A^{-1} e\)（全て 1 ベクトル）であることを示せ。
正定値行列・半正定値行列に関する演習問題（7.7.P22～7.7.P34）
7.7.P22
正定値行列 \(A \in M_n\) を \(A = A_1 + i A_2\) と表す。ただし \(A_1, A_2\) は実行列である。\(A_1\) は実対称かつ正定値であり、\(A_2\) は実の斜対称行列であることを示せ。
7.7.P23
正定値行列 \(A \in M_n\) を考える。
次を示すことを主張する：
\(\text{Re }A^{-1} \succeq (\text{Re }A)^{-1}\) かつ \(\text{range }(\text{Im }A) \subset \text{range }(\text{Re }A)\)。
(1.3.P20) を参照して詳細を示す。
\(A = A_1 + i A_2\) および \(A^{-1} = B_1 + i B_2\) とし、ここで \(A_1, A_2, B_1, B_2\) は実行列とする。さらに
H = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ -A_2 & A_1 \end{pmatrix}, \quad
K = \begin{pmatrix} B_1 & B_2 \\ -B_2 & B_1 \end{pmatrix}
(a) \(H\) はユニタリ相似により \(A \oplus \bar{A}\) に相似であり、したがって \(A\) が正定値であることと \(H\) が正定値であることは同値である。
(b) \(H^{-1} = K\)。
(c) \(\alpha = \{1, \dots, n\}\) とすると \(\text{Re }A^{-1} = B_1 = H^{-1}[\alpha] \lt (H[\alpha])^{-1} = A_1^{-1} = (\text{Re }A)^{-1}\)。
(d) \(H\) は列包含性を満たす。
7.7.P24 (前問の続き)
(a) 前問で \(\alpha = \{ j \}\) (\(j \in \{1,\dots,n\}\)) を選ぶとどのような不等式が得られるか？
(b) 実の斜対称な厳密収縮行列 \(X\) が存在して \(\text{Im }A = (\text{Re }A)^{1/2} X (\text{Re }A)^{1/2}\) となることを示せ。
(c) \(\det(\text{Re }A) > |\det(\text{Im }A)|\) を示せ。n が奇数の場合、この不等式はあまり興味深くない理由は何か？
7.7.P25
\(A \in M_n\) はエルミートで \(A = A_1 + i A_2\) と表す。
\(A_1, A_2\) は実行列とする。
\(A\) が正定値であることは、\(A_1\) が正定値かつ \(\rho(A_1^{-1} A_2) \lt 1\) であることと同値であることを示せ。
7.7.P26
\(C_1, \dots, C_k \in M_n\) を正定値行列とする。
\(E = (\text{Re }C_1) \circ \dots \circ (\text{Re }C_k)\) および \(F = (\text{Im }C_1) \circ \dots \circ (\text{Im }C_k)\) とする。
\(\det E > |\det F|\) を示せ。k が奇数の場合、なぜ \(E + i F\) が正定値となるか？
k が偶数の場合、どこが問題か？
7.7.P27
\(A, B \in M_{m,n}\) とする。次を示す：
\(\sigma_1(A \circ B) \le \sigma_1(A) \sigma_1(B)\)。
詳細は次の通り。\(A \neq 0 \neq B\) と仮定する。
\(X = A/\sigma_1(A)\), \(Y = B/\sigma_1(B)\) とすると
\begin{pmatrix} \text{Im }X \\ X^* \\ I_n \end{pmatrix} \circ
\begin{pmatrix} \text{Im }Y \\ Y^* \\ I_n \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \text{Im }X \circ Y \\ (X \circ Y)^* \\ I_n \end{pmatrix}
は半正定値であり、したがって \(X \circ Y\) は収縮である。
7.7.P28
\(A \in M_n\) が正定値であるとする。境界付き行列
\begin{pmatrix} A & x \\ x^* & a \end{pmatrix} \in M_{n+1}
が正定値であることは \(a > x^* A^{-1} x\) に同値である。
7.7.P29
\(A \in M_n\) が正定値であるとする。次を示せ：
\(A^{-1} \circ \dots \circ A^{-1} \succeq (A \circ \dots \circ A)^{-1}\) （各アダマール積の要素数は同じ）。
7.7.P30
\(A \in M_n\) が正則であるとする。
次を示せ：
\((A^{-1} \circ A) e = e\)、ただし \(e\) は全て 1 のベクトル。
A が正定値の場合、なぜ \(A^{-1} \circ A \succ I\) となるか説明せよ。
ただし (7.7.17(c)) により \(A^{-1} \circ A \succeq I\) は成立する。
7.7.P31
\(A \in M_n\) はエルミートかつ正則であり、部分空間 \(S \subset \mathbb{C}^n\) が与えられている。
\(A\) が \(S\) 上で正定値、すなわち任意の非零 \(x \in S\) に対して \(x^* A x > 0\) を満たすとする。
\(C^n\) 上で A が正定値となるために必要十分な条件は次のどちらか？
- (a) A が \(S^\perp\) 上で正定値である
- (b) A^{-1} が \(S^\perp\) 上で正定値である
証明を行う前に、例として
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad S = \text{span}\{e_1\}
を考えよ。
7.7.P32
\(A, B \in M_n\) が正定値であるとする。次が成立することを示せ： \(A \succeq B \iff \begin{pmatrix} I & B^{1/2} \\ B^{1/2} & A \end{pmatrix} \succeq 0 \iff \begin{pmatrix} B^{-1} & I \\ I & A \end{pmatrix} \succeq 0\)。
7.7.P33
\(A_i, B_i \in M_n\) が正定値であり、\(\alpha_i \ge 0\) (\(i = 1, \dots, k\)) とする。
各 \(A_i \succeq B_i\) が成り立ち、\(\sum_{i=1}^k \alpha_i = 1\) とする。
(a) \(\sum_{i=1}^k \alpha_i A_i \succeq (\sum_{i=1}^k \alpha_i B_i^{1/2})^2\) および \(\sum_{i=1}^k \alpha_i A_i \succeq (\sum_{i=1}^k \alpha_i B_i^{-1})^{-1}\) を示せ。
(b) n=1, k=2, \(\alpha_1 = \alpha_2\) の場合、(a) の不等式は何を意味するか？ スカラー不等式を直接証明せよ。
7.7.P34
\(A \in M_n\) を考える。
(a) \(A A^* \succeq A^* A\) は \(A\) が正規であることと同値である。
(b) \((A A^*)^{1/2} \succeq (A^* A)^{1/2}\) は \(A\) が正規であることと同値である。
7.7.P35
\(A \in M_n\) を正則とする。 (a) 次を示せ：
\begin{pmatrix} (AA^*)^{1/2} & A \\ A^* & (A^*A)^{1/2} \end{pmatrix}
は半正定値かつ特異である。 (b) 次を示せ：
\begin{pmatrix} (AA^*)^{1/2} & A \\ A^* & (AA^*)^{1/2} \end{pmatrix}
は \(A\) が正規である場合に限り半正定値である。
7.7.P36
\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とし、次の行列を定義する：
H = \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}
(a) (1.3.P19) を再確認し、\(H \succeq 0\) が \(A \pm B \succeq 0\) と同値である理由を説明せよ。
(b) (a) から (7.7.12(a)) と (7.7.12(c)) の同値性を導け。
7.7.P37
\(A, B \in M_n\) が正定値であるとする。次を示せ：
A \circ B^{-1} + A^{-1} \circ B \succeq 2I
7.7.P38
\(X \in M_n\) がエルミートであるとする。
次を示せ：\(X\) が収縮であることと \(I \succeq X^2\) が同値である。
7.7.P39
\(A, B \in M_n\) とする。次を示せ：
\begin{pmatrix} I & A \\ A^* & A^* A \end{pmatrix} \succeq 0
これにより次が従う：
A^*A \circ B^*B \lt (A \circ B)^* (A \circ B)
7.7.P40
\(A \in M_p\) が正定値、\(B \in M_q\) が半正定値であり、次の行列が半正定値であるとする：
H = \begin{pmatrix} A & B \\ B^* & C \end{pmatrix} \in M_{p+q}
A に関するシュール補行列を \(S_H(A) = C - B^* A^{-1} B\) と定める。
次を主張する：
S_H(A) = \max \{ E \in M_q : E = E^* \text{ かつ } H \succeq \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix} \}
ここで "max" はローナー順序に関する最大値である。詳細は次の通り：
(a) (7.7.5) の ∗合同を用いて、次が ∗合同であることを示す：
H - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix} \sim A \oplus (S_H(A) - E)
(b) \(H - \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix} \lt 0\) は、A が正定値かつ \(S_H(A) - E \succeq 0\) であることと同値である。
(c) 最大値は \(E = S_H(A)\) で達成され、これは半正定値である。
7.7.P41
(前問の続き) \(H_1 = \begin{pmatrix} A_1 & B_1 \\ B_1^* & C_1 \end{pmatrix}, H_2 = \begin{pmatrix} A_2 & B_2 \\ B_2^* & C_2 \end{pmatrix} \in M_{p+q}\) が半正定値であり、\(A_1, A_2 \in M_p\) は正定値であるとする。
シュール補行列の変分的特徴付け (7.7.20) を用いて次を示す。
(a) シュール補行列の単調性：\(H_1 \succeq H_2\) ならば \(S_{H_1}(A_1) \succeq S_{H_2}(A_2)\)。
(b) シュール補行列の凹性：\(S_{H_1 + H_2}(A_1 + A_2) \succeq S_{H_1}(A_1) + S_{H_2}(A_2)\)。
(c) 次を示せ：
H_1 \circ H_2 \succeq \\
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & S_{H_1}(A_1) \end{pmatrix} \circ H_2 =
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & S_{H_1}(A_1) \circ C_2 \end{pmatrix} \\\succeq
\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & S_{H_1}(A_1) \circ S_{H_2}(A_2) \end{pmatrix}
したがって
S_{H_1 \circ H_2}(A_1 \circ A_2) \succeq S_{H_1}(A_1) \circ C_2 \succeq S_{H_1}(A_1) \circ S_{H_2}(A_2)
7.7.P42
\(A \in M_n\) とし、\(\text{H}(A) = \frac{1}{2}(A + A^*)\) が正定値であるとする。
∗合同の標準形 (7.1.15) を用いて次を示せ：
\(\text{H}(A)^{-1} \succeq \text{H}(A^{-1}) \gt 0\)。
7.7.P43
\(A, B \in M_n\) が正定値で、かつ \(A \succeq B\) であるとする。次を証明せよ：
\det(A + B) \ge \det A + n (\det A)^{(n-1)/n} (\det B)^{1/n} \ge \det A + n \det B
(7.6.P6) と比較せよ。
7.7.P44
\(A, B \in M_n\) が正定値で、かつ \(A \succeq B\) であるとする。定義から次を示せ：\(B^{-1} \succeq A^{-1}\)。
(a) \(x, y \in \mathbb{C}^n\) を非零とする。次を示す必要がある：
\(x^* B^{-1} x \ge x^* A^{-1} x\)。
(b) \((y - B^{-1} x)^* B (y - B^{-1} x) \ge 0 \Rightarrow 2 \text{Re } y^* x - y^* A y \ge 2 \text{Re } y^* x - y^* B y\)。
(c) \(y = A^{-1} x\) と置く。
7.7.P45
\(A, B \in M_n\) が正定値で、次を定義する：
H = \begin{pmatrix} B^{-1} & I \\ I & A \end{pmatrix}
H/B^{-1} および H/A を計算せよ。なぜ \(A \succeq B \iff H \succeq 0 \iff B^{-1} \succeq A^{-1}\) となるか説明せよ。
補足事項および参考文献
1934年、C. Loewner（K. Löwner）は、自身の名にちなんだ順序に関して単調である行列関数を特徴付けた：
すなわち、A \lt B ならば f(A) \lt f(B) となる場合である。
彼は、関数 f が単調な行列関数であることと、その差商カーネル
L_f(s, t) = \frac{f(s) - f(t)}{s - t}
が半正定値であることが同値であることを発見した。
たとえば、式 (7.7.4) は f(t) = −t^{-1} および f(t) = t^{1/2} が正定値行列上で単調であることを示しており、一方で (7.7.4) の後の演習は、実数値単調関数 f(t) = t^2 が正定値行列上で単調ではないことを示している。
以下の表は、関数、差商カーネル、および対応する行列（各 ξ_i ∈ (0,∞)）を示しており、Loewner の理論を具体化している：
f(t) = -t^{-1}, \quad L_f = \frac{1}{s t} \quad [\xi_i \xi_j]_{i,j=1}^{n} \succeq0
f(t) = \sqrt{t}, \quad L_f = \frac{1}{\sqrt{s} + \sqrt{t}}
\quad [(\xi_i + \xi_j)^{-1}]_{i,j=1}^{n} \succeq 0
f(t) = t^2, \quad L_f = s + t
\quad [\xi_i + \xi_j]_{i,j=1}^{n} \text{ は不定 (1.3.25)}
行列関数の凸性に関する理論も存在する：
すなわち、任意の α ∈ (0,1) に対して
\alpha f(A) + (1 - \alpha) f(B) \lt f(\alpha A + (1 - \alpha) B)
が成立する。
演習問題 (7.7.P13 および P14) は、正規行列上での f(t) = t^2 の厳密凸性、および正定値行列上での f(t) = t^{-1} の厳密凸性を研究している。
関数 f(t) = −t^{1/2} および f(t) = t^{-1/2} も正定値行列上で厳密凸であることが知られている。
単調および凸行列関数の詳細は、Horn and Johnson (1991) の第6.6節、Bhatia (1997)、Donoghue (1974) を参照せよ。
(7.7.11–13) および (7.7.P15–P18) の内容に関するさらなる情報は、C. H. FitzGerald および R. A. Horn, "On the structure of Hermitian–symmetric inequalities," J. London Math. Soc. 15 (1977) 419–430 を参照せよ。
また、(7.7.15) および (7.7.17) に関連する追加の文献は、C. R. Johnson, "Partitioned and Hadamard product matrix inequalities," J. Research NBS 83 (1978) 585–591 を参照せよ。
行列解析の総本山
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