[行列解析7.7.12]系：半正定値行列に対する共役行列の不等式の等価条件

7.7.12 半正定値行列に対する共役行列の不等式の等価条件
- 証明
行列解析の総本山

7.7.12 半正定値行列に対する共役行列の不等式の等価条件

系7.7.12
\( A \in M_n \) を半正定値行列、\( B \in M_n \) をエルミート行列とする。次の4つの条件は互いに同値である。

(a) 任意の \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して、

x^* A x \ge |x^* B x|

(b) 任意の \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して、

x^* A x + y^* A y \ge 2 |x^* B y|

H = \begin{bmatrix} A & B \\ B & A \end{bmatrix} \succeq 0

(d) エルミート縮小写像 \( X \in M_n \) が存在して、

B = A^{1/2} X A^{1/2}

が成り立つ。

さらに、\( A \) が正定値である場合、次の条件も (a) と同値である：

\rho(A^{-1} B) \le 1

証明

(a) ⇒ (b)：任意の \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して、(a) の不等式、三角不等式、及び B のエルミート性を用いると次が成り立つ：

2(x^* A x + y^* A y) = (x + y)^* A (x + y) + (x - y)^* A (x - y) \ge |(x + y)^* B (x + y)| + |-(x - y)^* B (x - y)| \ge |(x + y)^* B (x + y) - (x - y)^* B (x - y)| = 4 |x^* B y|

(b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (a)：前定理の A = C および B = B∗ と置く場合と同様である。各 ε > 0 に対して \((A + \varepsilon I)^{-1/2} B (A + \varepsilon I)^{-1/2}\) がエルミートであることから、定理 (7.7.9) により X をエルミートと選ぶことができる。

(e) ⇔ (c)：前定理では A = C および B = B∗ の場合に (e) は \(\rho(A^{-1} B)^2 \le 1\) となる。

このコローラリーは、正の半定値行列の場合における基本表現 (7.7.3(a)) のバージョンを提供する。