7.3.問題8
7.3.P8
本問題は (7.1.P28) の続きであり、同じ記号を用いる。
(a) 前問の恒等式 (a)–(c) を用いて、\( C = BX \) を満たす任意の \( X \) に対して
X^{*} B X = C^{*} B^{\dagger} C
が成り立つことを示せ。
(b) 半正定値行列
A =
\begin{bmatrix}
B & C \\
C^{*} & D
\end{bmatrix}
が \( B \oplus (D - C^{*}B^{\dagger}C) \) に ∗合同（star-congruent）であることを示せ。
(c) \( B \) が正則の場合、\( D - C^{*}B^{\dagger}C = D - C^{*}B^{-1}C \) となることを説明せよ。
(d) \( D - C^{*}B^{\dagger}C \) を、\( A \) における \( B \) の一般化されたSchur補行列とみなすことの妥当性について論ぜよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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