[行列解析7.2.P35]

7.2.問題35

\( A, B \in M_n \) をエルミート行列（量子系の観測量）とする。交換子 \([A, B] = AB - BA\) と Jordan 積 \(\rceil A, B \lceil = AB + BA\) を定義する。
(a) 次を示せ：

\mathrm{Cov}_R(A, B) = \mathrm{tr}(RAB) - (\mathrm{tr}(RA))(\mathrm{tr}(RB))

ここで \(\mathrm{tr}(RA)\) および \(\mathrm{tr}(RB)\) は共に実数である。

(b) 次を示せ：

\mathrm{Im}\,\mathrm{Cov}_R(A, B) = \frac{1}{2i} (\mathrm{tr}(RAB) - \mathrm{tr}(RBA)) = \frac{1}{2i} \mathrm{tr}(R[A, B])

これは状態 \( R \) における交換子の平均を表し、観測量 \( A, B \) の非可換性の尺度として解釈される。

(c) \( A_0 = A - (\mathrm{tr}(RA))I \)、\( B_0 = B - (\mathrm{tr}(RB))I \) とおくと、\(\mathrm{tr}(RA_0) = \mathrm{tr}(RB_0) = 0\)（状態 \( R \) で平均ゼロ）である。さらに

\mathrm{tr}(R \rceil A_0, B_0 \lceil) = \mathrm{tr}(R \rceil A, B \lceil) - 2 (\mathrm{tr}(RA))(\mathrm{tr}(RB))

(d) よって

\mathrm{Re}\,\mathrm{Cov}_R(A, B) = \frac{1}{2} \mathrm{tr}(R \rceil A_0, B_0 \lceil) = \frac{1}{2} (\mathrm{Cov}_R(A, B) + \mathrm{Cov}_R(B, A))

(e) 次の不等式

\mathrm{Var}_R(A)\,\mathrm{Var}_R(B) \ge \frac{1}{4} |\mathrm{tr}(R[A,B])|^2 + \frac{1}{4} (\mathrm{Cov}_R(A, B) + \mathrm{Cov}_R(B, A))^2

は半内積 \(\mathrm{Cov}_R(\cdot, \cdot)\) に対するコーシー・シュワルツ不等式の拡張であり、シュレーディンガー不確定性原理を表す。これにより、より弱い形のハイゼンベルク不確定性原理

\mathrm{Var}_R(A)\,\mathrm{Var}_R(B) \ge \frac{1}{4} |\mathrm{tr}(R[A,B])|^2

が導かれる。

さらに、もし \( AR = \lambda R \) となる実数 \(\lambda\) が存在する場合（R が A の固有状態）、\(\mathrm{Var}_R(A) = 0\) となる。

また、任意の密度行列はスカラー行列の固有状態である理由を説明せよ。