4.3.P11
4.3.問題11
\(A = [a_{ij}] \in M\_n\) とする。
「小さい」列や行を持つなら、「小さい」特異値も持つことを示す以下の議論の詳細を与えよ。
特異値の2乗を大きい順に並べたものを \(\sigma_1^2 \geq \cdots \geq \sigma_n^2\) とする（これは \(AA^*\) の固有値である）。
また、行のユークリッド長の2乗を大きい順に並べたものを \(R_1^2 \geq \cdots \geq R_n^2\) とする（これは \(AA^*\) の主対角成分を並べ替えたものである）。このとき、すべての \(k=1,\ldots,n\) に対して次が成り立つ理由を説明せよ。
\sum_{i=n-k+1}^n R_i^2 \geq \sum_{i=n-k+1}^n \sigma_i^2
列のユークリッド長に関しても同様の不等式が成り立つ。
さらに、もし \(A\) が正規行列であるなら、\(A\) の固有値について何を結論できるか？
ヒント
\(AA^*\) は半正定値エルミート行列であり、その固有値が \(A\) の特異値の2乗である。
また、\(AA^*\) の対角成分は \(A\) の各行ベクトルのユークリッド長の2乗になる。
前問で示したように、エルミート行列の対角成分は固有値の凸結合で表される。そこから、対角成分の小さい方の和は、固有値の小さい方の和以上になることを示せばよい。
正規行列の場合には、特異値は固有値の絶対値に一致することを用いる。
解答例
\(H=AA^\*\) とおく。
\(H\) はエルミート半正定値行列であり、その固有値は \(A\) の特異値の2乗
\sigma_1^2 \geq \sigma_2^2 \geq \cdots \geq \sigma_n^2 \geq 0
である。
さらに、\(H\) の対角成分は
h_{ii}
=
\sum_{j=1}^n a_{ij}\overline{a_{ij}}
=
\sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2
=
R_i^2
である。
\(H\) はエルミート行列なので、あるユニタリ行列 \(U\) を用いて
H
=
U
\operatorname{diag}(\sigma_1^2,\ldots,\sigma_n^2)
U^*
と対角化できる。
前問の結果より、対角成分ベクトル
(R_1^2,\ldots,R_n^2)^{\top}
は、固有値ベクトル
(\sigma_1^2,\ldots,\sigma_n^2)^{\top}
に二重確率行列を掛けたものになる。
したがって、対角成分ベクトルは固有値ベクトルによって majorize される。 すなわち、小さい方から \(k\) 個の和について
\sum_{i=n-k+1}^n R_i^2
\geq
\sum_{i=n-k+1}^n \sigma_i^2
\qquad
(k=1,\ldots,n)
が成り立つ。
同様に、列ベクトルのユークリッド長を
C_1^2 \geq \cdots \geq C_n^2
と並べると、\(A^*A\) の対角成分が列長の2乗であり、その固有値も同じく \(\sigma_1^2,\ldots,\sigma_n^2\) であるから、
\sum_{i=n-k+1}^n C_i^2
\geq
\sum_{i=n-k+1}^n \sigma_i^2
\qquad
(k=1,\ldots,n)
も成り立つ。
さらに、\(A\) が正規行列なら、
AA^*=A^*A
であるから、\(A\) の特異値は \(A\) の固有値の絶対値に一致する。
したがって、固有値を絶対値の大きい順に
|\lambda_1| \geq \cdots \geq |\lambda_n|
と並べれば、
\sum_{i=n-k+1}^n R_i^2
\geq
\sum_{i=n-k+1}^n |\lambda_i|^2
および
\sum_{i=n-k+1}^n C_i^2
\geq
\sum_{i=n-k+1}^n |\lambda_i|^2
がすべての \(k\) に対して成り立つ。
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