4.3.問題11
4.3.P11
\(A = [a\_{ij}] \in M\_n\) とする。「小さい」列や行を持つなら、「小さい」特異値も持つことを示す以下の議論の詳細を与えよ。特異値の2乗を大きい順に並べたものを \(\sigma\_1^2 \geq \cdots \geq \sigma\_n^2\) とする（これは \(AA^\*\) の固有値である）。また、行のユークリッド長の2乗を大きい順に並べたものを \(R\_1^2 \geq \cdots \geq R\_n^2\) とする（これは \(AA^\*\) の主対角成分を並べ替えたものである）。このとき、すべての \(k=1,\ldots,n\) に対して次が成り立つ理由を説明せよ。
\sum\_{i=n-k+1}^n R\_i^2 \geq \sum\_{i=n-k+1}^n \sigma\_i^2
列のユークリッド長に関しても同様の不等式が成り立つ。さらに、もし \(A\) が正規行列であるなら、\(A\) の固有値について何を結論できるか？
行列解析の総本山
[行列解析]
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
コメント