[行列解析4.3]問題集

4.3.問題集

4.3.P1

行列 \(A, B \in M\_n\) をエルミートとする。(4.3.1) を用いて、すべての \(i = 1, \ldots, n\) に対して次を示せ。

\lambda\_1(B) \leq \lambda\_i(A+B) - \lambda\_i(A) \leq \lambda\_n(B)

さらに、\(|\lambda\_i(A+B) - \lambda\_i(A)| \leq \rho(B)\) が成り立つことを結論せよ。これはエルミート行列の固有値に関する摂動定理の単純な例である。(6.3) では、より多くの摂動定理が示される。

4.3.P2

次の行列を考える。

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

このとき、もし \(A, B\) がエルミートでない場合、ワイルの不等式 (4.3.2a,b) が必ずしも成り立たないことを示せ。

4.3.P3

\(A, B \in M\_n\) がエルミートであり、その固有値が (4.2.1) のように並べられているとする。このとき、次が成り立つ理由を説明せよ。

\lambda\_i(A+B) \leq \min \{ \lambda\_j(A) + \lambda\_k(B) : j+k=i+n \}, \quad i \in \{1,\ldots,n\}

4.3.P4

\(A, B \in M\_n\) がエルミートで、かつ \(A-B\) が非負の固有値しか持たないとする。このとき、すべての \(i = 1, \ldots, n\) に対して \(\lambda\_i(A) \geq \lambda\_i(B)\) が成り立つ理由を説明せよ。

4.3.P5

\(A \in M\_n\) をエルミートとし、\(a\_k = \det A[\{1,\ldots,k\}]\) をサイズ \(k\) の主要小行列式とする (\(k=1,\ldots,n\))。すべての \(a\_k \neq 0\) であると仮定する。このとき、\(A\) の負の固有値の数が、数列 \(+1, a\_1, a\_2, \ldots, a\_n\) における符号変化の数と等しいことを示せ。さらに、\(A\) が正定値であるのは、すべての主要小行列式が正である場合に限ることを説明せよ。もし \(a\_i = 0\) となる場合には何が起こるか?

4.3.P6

\(A = [a\_{ij}] \in M\_n\) がエルミートで、最小固有値 \(\lambda\_1\)、最大固有値 \(\lambda\_n\) を持つとする。ある \(i \in \{1,\ldots,n\}\) に対し、もし \(a\_{ii} = \lambda\_1\) または \(a\_{ii} = \lambda\_n\) であるなら、(4.3.34) を用いて、すべての \(k \neq i\) に対して \(a\_{ik} = a\_{ki} = 0\) であることを示せ。もし主対角成分が \(\lambda\_1\)、\(\lambda\_n\) 以外の固有値である場合、特別なことは起こるか？

4.3.P7

(4.3.45) の証明のスケッチを補う詳細を与えよ。この証明は次元に関する帰納法を用い、コーシーの交錯定理を利用する。\(n=1\) の場合は自明とする。\(n-1\) サイズのエルミート行列に対して主張される主要化が成り立つと仮定する。\(A\) の最小の代数的対角成分 \(d\_n^\downarrow\) に対応する行と列を削除して得られる主要小行列を \(\hat{A} \in M\_{n-1}\) とする。さらに、\(\hat{\lambda}^\downarrow\) を \(\hat{A}\) の固有値を非増加順に並べたベクトルとする。帰納法の仮定により、次が成り立つ。

\sum\_{i=1}^k \hat{\lambda}\_i^\downarrow \geq \sum\_{i=1}^k d\_i^\downarrow

(4.3.17) により次が保証される。

\sum\_{i=1}^k \lambda\_i^\downarrow \geq \sum\_{i=1}^k \hat{\lambda}\_i^\downarrow, \quad k=1,\ldots,n-1

したがって、\(k=1,\ldots,n-1\) に対して次が成り立つ。

\sum\_{i=1}^k \lambda\_i^\downarrow \geq \sum\_{i=1}^k d\_i^\downarrow

\(k=n\) の場合、なぜ等号が成り立つのかを説明せよ。

4.3.P8

\(e \in \mathbb{R}^n\) をすべての成分が 1 のベクトルとし、\(e\_i \in \mathbb{R}^n\) を標準基底ベクトルのひとつ、さらに \(y \in \mathbb{R}^n\) とする。(a) もし \(e\) が \(y\) を主要化するなら、\(y = e\) であることを示せ。(b) もし \(e\_i\) が \(y\) を主要化するなら、\(y\) のすべての成分が 0 と 1 の間にあることを示せ。

4.3.P9

\(A \in M\_n(\mathbb{R})\) が、任意の \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x\) が \(Ax\) を主要化すると仮定する。このとき、\(A\) が二重確率行列であることを示せ。

4.3.P10

\(A = [a\_{ij}] \in M\_n\) が正規行列であるとする。このとき、\(A = U \Lambda U^\*\) が成り立ち、ここで \(U = [u\_{ij}] \in M\_n\) はユニタリ行列、\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda\_1,\ldots,\lambda\_n) \in M\_n\) は実数である必要はない。次を示せ。

S = [|u\_{ij}|^2] \text{ は二重確率行列であり}, \quad \mathrm{diag}(A) = S (\mathrm{diag}(\Lambda))

ユニタリ行列 \(U\) からこのように得られる二重確率行列 \(S\) を ユニストキャスティック (unistochastic) という。もし \(U\) が実行列なら（例えば (4.3.52) の証明のように）、その場合 \(S\) は オルソストキャスティック (orthostochastic) と呼ばれる。

4.3.P11

\(A = [a\_{ij}] \in M\_n\) とする。「小さい」列や行を持つなら、「小さい」特異値も持つことを示す以下の議論の詳細を与えよ。特異値の2乗を大きい順に並べたものを \(\sigma\_1^2 \geq \cdots \geq \sigma\_n^2\) とする（これは \(AA^\*\) の固有値である）。また、行のユークリッド長の2乗を大きい順に並べたものを \(R\_1^2 \geq \cdots \geq R\_n^2\) とする（これは \(AA^\*\) の主対角成分を並べ替えたものである）。このとき、すべての \(k=1,\ldots,n\) に対して次が成り立つ理由を説明せよ。

\sum\_{i=n-k+1}^n R\_i^2 \geq \sum\_{i=n-k+1}^n \sigma\_i^2

列のユークリッド長に関しても同様の不等式が成り立つ。さらに、もし \(A\) が正規行列であるなら、\(A\) の固有値について何を結論できるか？

4.3.P12

\(A \in M\_n\) を (4.3.29) のように分割し、\(B = [b\_{ij}] \in M\_m\)、\(C = [c\_{ij}] \in M\_{m,n-m}\) とする。前問と同じ記法を用いる。もし \(A\) の最大の \(m\) 個の特異値が \(B\) の特異値であるなら、\(C=0\) であり、かつ \(A = B \oplus D\) であることを示せ。

4.3.P13

境界付きエルミート行列に関するコーシーの交錯定理 (4.3.17) が、エルミート行列に対するランク1摂動の交錯定理 (4.3.9) を導くことを示す以下の証明スケッチの詳細を補え。\(z \in \mathbb{C}^n\)、\(A \in M\_n\) をエルミートとする。目標は (4.3.10) を示すことである。(4.3.26) の証明と同様に、\(A = \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda\_1,\ldots,\lambda\_n)\) が対角かつ正定値であると仮定してよい。なぜか？ \(R = \mathrm{diag}(\lambda\_1^{1/2},\ldots,\lambda\_n^{1/2})\) とする。このとき、

\Lambda + zz^\* = \begin{bmatrix} R & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R \\ z^\* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Lambda & Rz \\ z^\*R & z^\*z \end{bmatrix}

の固有値は \(\{0 \leq \lambda\_1(\Lambda+zz^\*) \leq \cdots \leq \lambda\_n(\Lambda+zz^\*)\}\) であり、\(\Lambda\) の固有値と交錯することがコーシーの定理により保証される。

4.3.P14　

\( r \in \{1, \ldots , n\} \) とし、\( H_n \) を \( n \times n \) のエルミート行列の実ベクトル空間とする。与えられた \( A \in H_n \) に対して、その固有値を (4.2.1) のように順序づける。ここで \( f_r(A) = \lambda_1(A) + \cdots + \lambda_r(A) \)、また \( g_r(A) = \lambda_{n-r+1}(A) + \cdots + \lambda_n(A) \) と定義する。\( f_r \) が \( H_n \) 上で凹関数であり、\( g_r \) が \( H_n \) 上で凸関数であることを示せ。

4.3.P15　

\( A \in M_n \) を半正定値行列とし、\( m \in \{1, \ldots , n\} \) とする。

(a) \( V \in M_{n,m} \) が直交正規な列を持つとする。(4.3.37) を用いて次を示せ：

\lambda_1(A)\cdots \lambda_m(A) \leq \det(V^*AV) \leq \lambda_{n-m+1}(A)\cdots \lambda_n(A)

(b) \( X \in M_{n,m} \) の場合、次を示せ：

\lambda_1(A)\cdots \lambda_m(A)\det(X^*X) \leq \det(X^*AX) \leq \lambda_{n-m+1}(A)\cdots \lambda_n(A)\det(X^*X)

4.3.P16　

(a) \( A \in M_2 \) が正規行列ならば、\(\mathrm{spread}(A) \geq 2|a_{12}|\) を示し、この評価が鋭い（達成される）例を与えよ。なぜ \(\mathrm{spread}(A) \geq 2|a_{21}|\) も成り立つのかも説明せよ。

(b) \( A \in M_n \) がエルミート行列で、\(\hat{A}\) が \( A \) の主小行列であるとする。このとき \(\mathrm{spread}(A) \geq \mathrm{spread}(\hat{A})\) を示し、(a) を用いて \(\mathrm{spread}(A) \geq 2\max\{|a_{ij}| : i,j=1,\ldots ,n, i\neq j\}\) を導け。上界については (2.5.P61) を参照せよ。

4.3.P17　

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) がエルミートかつ三重対角行列であり、各 \( i = 1,\ldots ,n-1 \) に対して \( a_{i,i+1} \neq 0 \) と仮定する（このとき \( A \) は縮約されない (0.9.9) であり、またエルミートなので既約 (6.2.22) でもある）。この問題では、相補不等式 (4.3.18) がすべて厳密不等式であることの2つの証明と、\( A \) が相異なる固有値を持つことの3つの証明を与える。

(a) \( x=[x_i] \) を \( A \) の固有ベクトルとする。\( x_n \neq 0 \) を示せ。

(b) \(\hat{A}\) を \( A \) の \( (n-1)\times(n-1) \) の主小行列とする。(4.3.17) の等号成立条件を用いて、\( A \) と \(\hat{A}\) の固有値に関する相補不等式 (4.3.18) がすべて厳密不等式となることを示せ。

(d) (1.4.P11) を用いて、別の方法で \( A \) が相異なる固有値を持つことを示せ。

(e) \( p_k(t) \) を \( A \) の左上 \( k\times k \) 主小行列の特性多項式とし、\( p_0(t)=1 \) とする。このとき、\( p_1(t)=t-a_{11} \)、さらに \( k=2,\ldots,n \) に対して

p_k(t) = (t-a_{kk})p_{k-1}(t) - |a_{k-1,k}|^2 p_{k-2}(t)

を示せ。

(f) (e) を用いて、\( A \) と \(\hat{A}\) の固有値に関する相補不等式 (4.3.18) がすべて厳密不等式であることを示し、\( A \) が相異なる固有値を持つことを導け。

4.3.P18　

\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \in M_n(\mathbb{R})\) とし、固有値がすべて異なり \(\lambda_1 \lt \cdots \lt \lambda_n\) であると仮定する。\( z \in \mathbb{C}^n \) の成分がすべて 0 でないとき、次が成り立つ理由を説明せよ：

\lambda_1 \lt \lambda_1(\Lambda+zz^*) \lt \cdots \lt \lambda_{n-1}(\Lambda+zz^*) \lt \lambda_n \lt \lambda_n(\Lambda+zz^*)

（すべての不等式は厳密である）。

4.3.P19　

\( A \in M_n \) をエルミート行列、\( z \in \mathbb{C}^n \) とする。(4.3.9) の記法を用いると、各 \( i=1,\ldots,n \) に対して \(\lambda_i(A+zz^*)=\lambda_i(A)+\mu_i\) であり、各 \(\mu_i \geq 0\) であることが分かる。さらに

\sum_{i=1}^n \mu_i = z^*z = \lVert z \rVert_2^2

を示せ。

4.3.P20　

\( \lambda \in \mathbb{C}, a \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{C}^n \) とし、

A = \begin{bmatrix} \lambda I_n & y \\ y^* & a \end{bmatrix} \in M_{n+1}

とする。(4.3.17) を用いて、\( \lambda \) が少なくとも \( n-1 \) 重の固有値であることを示せ。他の2つの固有値は何か？

4.3.P21　

\( A \in M_n \) をエルミート行列、\( a \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{C}^n \) とする。

(a) \(\hat{A}=\begin{bmatrix} A & y \\ y^* & a \end{bmatrix} \in M_{n+1}\) とする。このとき \(\mathrm{rank}(\hat{A})-\mathrm{rank}(A)\) が取り得る値は 0,1,2 のみであることを説明せよ。

(b) \(\hat{A}=A \pm yy^*\) の場合、\(\mathrm{rank}(\hat{A})-\mathrm{rank}(A)\) が取り得る値は -1,0,+1 のみであることを説明せよ。(4.3.P27) に一般化と精緻化がある。

4.3.P22　

\( a_1,\ldots,a_n \) を相異なる正の実数（ただし全て等しくはない）とする。このとき

A = [a_i+a_j]_{i,j=1}^n \in M_n(\mathbb{R})

と定義する。

一般的な原理から、この行列 \( A \) が正の固有値を1つ、負の固有値を1つだけ持つことを説明せよ。

4.3.P23

与えられた \(x, y \in \mathbb{R}^n\) について、(4.3.47a,b) を用いて次を一行で証明せよ。

(a) \(x + y\) は \(x^{\downarrow} + y^{\downarrow}\) によりメジャライズされる。
(b) \(x + y\) は \(x^{\downarrow} + y^{\uparrow}\) をメジャライズする。

これら2つのメジャライゼーションを、(4.3.47) を用いずに証明できるか？

4.3.P24

\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とする。(4.3.47) において、リツキー（Lidskii）の不等式の2つの同値な形が現れる。すなわち、
「\(\lambda(A + B)\) は \(\lambda(A)^{\downarrow} + \lambda(B)^{\uparrow}\) によりメジャライズされる」
および
「\(\lambda(B)\) は \(\lambda(A + B)^{\downarrow} - \lambda(A)^{\downarrow}\) によりメジャライズされる」。
これらが次の3つ目の形と同値であることを示せ。
「\(\lambda(A - B)\) は \(\lambda(A)^{\downarrow} - \lambda(B)^{\downarrow}\) によりメジャライズされる」。

4.3.P25

\(A \in M_n\) を上二重対角行列 (0.9.10) とする。
(a) その特異値は、成分の絶対値のみに依存することを示せ。
(b) 各 \(i = 1, \ldots, n\) について \(a_{ii} \neq 0\)、各 \(i = 1, \ldots, n-1\) について \(a_{i,i+1} \neq 0\) と仮定する。このとき、\(A\) が \(n\) 個の異なる特異値をもつことを示せ。

4.3.P26

\(A, B \in M_n\) を三重対角行列とする。
(a) \(A\) および \(B^*\) が既約 (0.9.9) であり、\(\lambda \in \mathbb{C}\) とする。このとき、\(AB^* - \lambda I\) の最初の \(n-2\) 列は一次独立であることを説明し、従って任意の \(\lambda \in \mathbb{C}\) に対して \(\mathrm{rank}(AB - \lambda I) \geq n-2\) となることを示せ。なぜ \(AB\) の固有値の幾何的重複度は高々 2 となるのかを説明せよ。
(b) \(A\) のすべての上副対角成分および下副対角成分が 0 でない（すなわち \(A\) が既約である）場合、なぜ \(A\) のすべての特異値の重複度が高々 2 であるのかを説明せよ。
(c) 次の既約三重対角行列の固有値と特異値を求めよ。

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

4.3.P27

\(A \in M_n, \; y, z \in \mathbb{C}^n, \; a \in \mathbb{C}\) を与える。\(1 \leq \mathrm{rank} A = r \lt n\) とし、

\hat{A} = \begin{bmatrix} A & y \\ z^T & a \end{bmatrix}, \quad \delta = \mathrm{rank} \hat{A} - \mathrm{rank} A

(a) 次を説明せよ。

\mathrm{rank}\begin{bmatrix} 0_n & y \\ z^T & a \end{bmatrix} \leq 2

従って \(1 \leq \delta \leq 2\) となる。
(b) 次の証明のスケッチの詳細を与えよ。すなわち、\(\delta = 2\) であるのは、\(y\) が \(A\) の列空間に含まれず、かつ \(z^T\) が \(A\) の行空間に含まれない場合に限る。(0.4.6(f)) を用いて

A = S \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0_{n-r} \end{bmatrix} R

と書く。ただし \(S, R \in M_n\) は非特異である。さらに

S^{-1} y = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}, \quad R^{-T} z = \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix}, \quad y_1, z_1 \in \mathbb{C}^r

と分割する。このとき、\(y\) が \(A\) の列空間に含まれるのは \(y_2 = 0\) の場合に限られ、また \(z\) が \(A^T\) の列空間に含まれるのは \(z_2 = 0\) の場合に限られる。

さらに、

\mathrm{rank}\,\hat{A} = \mathrm{rank} \begin{bmatrix} I_r & 0 & y_1 \\ 0 & 0_{n-r} & y_2 \\ z_1^T & z_2^T & a \end{bmatrix} = r + 2

が成り立つのは、\(y_2 \neq 0 \neq z_2\) の場合に限る。
(c) \(A\) がエルミートで \(z = \bar{y}\) のとき、\(\delta = 2\) であるのは \(y\) が \(A\) の列空間に含まれない場合に限ることを説明せよ。(4.3.P21(a)) と比較せよ。

4.3.P28

(4.3.47) の仮定のもとで、次の主張

\lambda(A + B)^{\downarrow} + \lambda(A - B)^{\downarrow} \succeq 2\lambda(A)

が、ファンの不等式 (4.3.47a) と同値であることを示せ。

4.3.P29

\(A = [A_{ij}]_{i,j=1}^m \in M_n\) をエルミート行列とし、各 \(i = 1, \ldots, m\) に対して \(A_{ii} \in M_{n_i}\) であり、\(n_1 + \cdots + n_m = n\) とする。このとき、\(A\) の固有値ベクトルは \(A_{11} \oplus \cdots \oplus A_{mm}\) の固有値ベクトルをメジャライズすることを示せ。

この主張が (4.3.45) の一般化になっている理由を説明せよ。

4.3.P30

シュールのメジャライゼーション定理 (4.3.45) には、ブロック行列に対する一般化があり、不等式 (4.3.46) に中間項を導入する。

\(A = [A_{ij}]_{i,j=1}^k\) を分割されたエルミート行列とし、\(d(A) = [a_{ii}]_{i=1}^n\) を対角成分ベクトルとする。

このとき、\(d(A)\) が \(\lambda(A_{11} \oplus \cdots \oplus A_{kk})\) によりメジャライズされ、さらにそれが \(\lambda(A)\) によりメジャライズされることを証明せよ。

注とさらなる読書

メジャライゼーションについては Marshall と Olkin (1979) を参照せよ。

リツキー不等式 (4.3.47b) は多くの重要な摂動評価の基盤となる。(6.3) および (7.4) を参照のこと。これらの有名な不等式の証明は文献に多数存在するが、本書の証明は C. K. Li と R. Mathias によるものである。The Lidskii–Mirsky–Wielandt theorem – additive and multiplicative versions, Numer. Math. 81 (1999) 377–413 を参照のこと。

固有値不等式の包括的議論として、ワイル不等式 (4.3.1)、ファン不等式 (4.3.47a)、リツキー不等式 (4.3.47b) を特別な場合として含むものは、R. Bhatia, Linear algebra to quantum cohomology: The story of Alfred Horn’s inequalities, Amer. Math. Monthly 108 (2001) 289–318 を参照のこと。

問題 (4.3.P17) は、実ヤコビ行列を含むあるクラスの行列について、交錯不等式 (4.3.18) が厳密であることを2通りの方法で示している。

逆に、もし \(2n-1\) 個の実数が不等式 \(\lambda_1 \lt \mu_1 \lt \lambda_2 \lt \mu_2 \lt \cdots \lt \lambda_{n-1} \lt \mu_{n-1} \lt \lambda_n\) を満たすならば、一意なヤコビ行列 \(A\) が存在し、その固有値が \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\)、その首座 \(n-1\) 次小行列の固有値が \(\mu_1, \ldots, \mu_{n-1}\) となることが知られている。

O. H. Hald, Inverse eigenvalue problems for Jacobi matrices, Linear Algebra Appl. 14 (1976) 63–85 を参照せよ。