4.3.53
定理 4.3.53.
\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とし、それぞれの固有値ベクトルを \(\lambda(A) = [\lambda_i(A)]_{i=1}^n\)、\(\lambda(B) = [\lambda_i(B)]_{i=1}^n\) とする。このとき、次が成り立つ。
\sum_{i=1}^n \lambda_i(A)^{\downarrow}\, \lambda_i(B)^{\uparrow}
\;\leq\; \operatorname{tr}(AB) \;\leq\;
\sum_{i=1}^n \lambda_i(A)^{\downarrow}\, \lambda_i(B)^{\downarrow}
(4.3.54) のいずれかの不等式で等号が成立するならば、\(A\) と \(B\) は可換である。右側の不等式で等号が成立するなら、あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して
A = U \, \operatorname{diag}(\lambda(A)^{\downarrow}) U^*,
\quad
B = U \, \operatorname{diag}(\lambda(B)^{\downarrow}) U^*
が成り立つ。左側の不等式で等号が成立するなら、あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して
A = U \, \operatorname{diag}(\lambda(A)^{\downarrow}) U^*,
\quad
B = U \, \operatorname{diag}(\lambda(B)^{\uparrow}) U^*
証明.
\(A = U \Lambda U^*\) と表す。ただし \(U \in M_n\) はユニタリ行列であり、\(\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda(A)^{\downarrow})\) である。ここで \(\tilde{B} = [\beta_{ij}] = U^* B U\) とおく。このとき、
\operatorname{tr}(AB)
= \operatorname{tr}(U \Lambda U^* B)
= \operatorname{tr}(\Lambda U^* B U)
= \operatorname{tr}(\Lambda \tilde{B})
= \sum_{i=1}^n \lambda_i(A)^{\downarrow} \, \beta_{ii}
\(\tilde{B}\) の固有値ベクトル（これは \(B\) の固有値ベクトルと同じ）は \(\tilde{B}\) の対角成分ベクトルをメジャライズする (4.3.48)。したがって、前の補題を \(x = \lambda(B), y = \operatorname{diag}(\tilde{B}), w = \lambda(A)\) として適用すれば、不等式 (4.3.54) が従う。
次に、(4.3.54) の右側の不等式で等号が成立すると仮定する。\(A\) の固有値を \(\alpha_1 \gt \alpha_2 \gt \cdots \gt \alpha_k\) とし、それぞれの重複度を \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) とする。ここで \(\tilde{B} = [\tilde{B}_{ij}]_{i,j=1}^k\) と分割し、各 \(\tilde{B}_{ii} \in M_{n_i}\) とする。(4.3.52) の等号条件より、各 \(i = n_1, n_1+n_2, \ldots\) のとき
\lambda_{n_i}(A)^{\downarrow} - \lambda_{n_i+1}(A)^{\downarrow}
= \alpha_i - \alpha_{i+1} \gt 0
が成り立ち、必然的に \(\check{X}_{n_1+\cdots+n_i} - Y_{n_1+\cdots+n_i} = 0\) となる。したがって (4.3.54) の右側で等号が成り立つとき、各 \(p = 1, \ldots, k-1\) について
Y_{n_1+\cdots+n_p}
= \operatorname{tr}(\tilde{B}_{11}) + \cdots + \operatorname{tr}(\tilde{B}_{pp})
= \check{X}_{n_1+\cdots+n_p}
= \sum_{i=1}^{n_1+\cdots+n_p} \lambda_i(\tilde{B})^{\downarrow}
が成立する。補題 4.3.34（等式 (4.3.36b)）より、\(\tilde{B} = \tilde{B}_{11} \oplus \cdots \oplus \tilde{B}_{kk}\) である。さらに、\(\tilde{B}_{11}\) の固有値は \(\lambda_1(B)^{\downarrow}, \ldots, \lambda_{n_1}(B)^{\downarrow}\)、\(\tilde{B}_{22}\) の固有値は \(\lambda_{n_1+1}(B)^{\downarrow}, \ldots, \lambda_{n_1+n_2}(B)^{\downarrow}\)、というように続く。
\(\Lambda = \alpha_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus \alpha_k I_{n_k}\) はブロック対角行列 \(\tilde{B}\) と整合しているため、\(\Lambda \tilde{B} = \tilde{B} \Lambda\) が成り立つ。したがって \(\Lambda U^* B U = U^* B U \Lambda\)、すなわち \(AB = BA\) である。
最後に、各 \(\tilde{B}_{ii} = \tilde{U}_i \tilde{\Lambda}_i \tilde{U}_i^*\) と書ける。ここで \(\tilde{U}_i \in M_{n_i}\) はユニタリ行列、\(\tilde{\Lambda}_i\) は固有値を非増加順に並べた対角行列である。 \(\tilde{U} = \tilde{U}_1 \oplus \cdots \oplus \tilde{U}_k\) とおくと、\(\tilde{\Lambda} = \tilde{\Lambda}_1 \oplus \cdots \oplus \tilde{\Lambda}_k = \operatorname{diag}(\lambda(B)^{\downarrow})\) である。さらに、\(\tilde{B} = \tilde{U} \tilde{\Lambda} \tilde{U}^*\)、かつ \(\tilde{U} \Lambda \tilde{U}^* = \Lambda\) となる。したがって、
A = U \Lambda U^* = (U \tilde{U}) \Lambda (U \tilde{U})^*
= (U \tilde{U}) \operatorname{diag}(\lambda(A)^{\downarrow})(U \tilde{U})^*
B = U \tilde{B} U^* = (U \tilde{U}) \tilde{\Lambda} (U \tilde{U})^*
= (U \tilde{U}) \operatorname{diag}(\lambda(B)^{\downarrow})(U \tilde{U})^*
(4.3.54) の左側の不等式で等号が成り立つ場合は、\(B\) を \(-B\) に置き換えることで右側の等号の議論から従う。 ■
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