4.3.17
定理 4.3.17（Cauchy）.
\(B \in M_n\) をエルミート行列、\(y \in \mathbb{C}^n\)、\(a \in \mathbb{R}\) を与えられたものとし、
A =
\begin{bmatrix}
B & y \\
y^* & a
\end{bmatrix}
∈ M_{n+1}
とする。このとき次が成り立つ。
λ_1(A) ≤ λ_1(B) ≤ λ_2(A) ≤ ··· ≤ λ_n(A) ≤ λ_n(B) ≤ λ_{n+1}(A)
(4.3.18) において、\(\lambda_i(A) = \lambda_i(B)\) となるのは、非ゼロの \(z \in \mathbb{C}^n\) が存在して \(Bz = \lambda_i(B)z\)、\(y^*z = 0\)、かつ \(Bz = \lambda_i(A)z\) が成り立つ場合に限られる。同様に、\(\lambda_i(B) = \lambda_{i+1}(A)\) となるのは、非ゼロの \(z \in \mathbb{C}^n\) が存在して \(Bz = \lambda_i(B)z\)、\(y^*z = 0\)、かつ \(Bz = \lambda_{i+1}(A)z\) が成り立つ場合に限られる。もし \(B\) の固有ベクトルが \(y\) に直交しないなら、(4.3.18) のすべての不等式は厳密な不等式となる。
証明.
固有値の相互はさみ込みの主張は、\(A\) を \(A + \mu I_{n+1}\) に置き換え（これにより \(B\) は \(B + \mu I_n\) となる）ても変わらない。したがって、一般性を失うことなく \(B\) と \(A\) が正定値であると仮定できる。次のエルミート行列を考える。
H =
\begin{bmatrix}
B & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}, \quad
K =
\begin{bmatrix}
0_n & y \\
y^* & a
\end{bmatrix}
このとき \(A = H + K\) である。\(H = B \oplus [0]\) の順序付けられた固有値は \(\lambda_1(H) = 0 \lt \lambda_1(B) = \lambda_2(H) \leq \lambda_2(B) = \lambda_3(H) \leq \cdots\)、すなわち \(\lambda_{i+1}(H) = \lambda_i(B)\)（\(i = 1, \dots, n\)）である。前の演習より、\(K\) は正の固有値と負の固有値をそれぞれちょうど1つ持つことがわかる。したがって不等式 (4.3.8) より
λ_i(A) = λ_i(H + K) ≤ λ_{i+1}(H) = λ_i(B), \quad \\
i = 1, …, n
(4.3.19) における等号成立の必要十分条件は (4.3.7) で述べられている。すなわち、非ゼロの \(x \in \mathbb{C}^{n+1}\) が存在して \(Hx = \lambda_{i+1}(H)x\)、\(Kx = 0\)、かつ \(Ax = \lambda_i(A)x\) が成り立つことである。ここで \(x = \begin{bmatrix} z \\ \zeta \end{bmatrix}\) と分割し、\(\lambda_{i+1}(H) = \lambda_i(B)\) を用いると、これらの条件は「非ゼロの \(z \in \mathbb{C}^n\) が存在して \(Bz = \lambda_i(B)z\)、\(y^*z = 0\)、かつ \(Bz = \lambda_i(A)z\)」に同値であることがわかる。特に、\(B\) の固有ベクトルが \(y\) に直交しないなら、必要条件 \(z \neq 0\)、\(Bz = \lambda_i(B)z\)、\(y^*z = 0\) はどの \(i\) に対しても満たされない。
\(\lambda_i(B) \leq \lambda_{i+1}(A)\)（\(i = 1, \dots, n\)）は、\(-A\) に (4.3.19) を適用し (4.2.5) を用いることで得られる：
-λ_{(n+1)-i+1}(A) = λ_i(-A) ≤ λ_i(-B) = -λ_{n-i+1}(B)
\(i' = n - i + 1\) とおけば、これは \(\lambda_{i'+1}(A) \geq \lambda_{i'}(B)\)（\(i' = 1, \dots, n\)）と同値である。(4.3.20) における等号成立の条件も再び (4.3.7) から従う。
ここまでで、固有値の相互はさみ込み定理の2つの例を扱った。すなわち、与えられたエルミート行列を、階数1のエルミート行列を加えるか、境界を付加して拡張する場合である。このとき、新しい固有値と元の固有値は必ず相互にはさみ込みの関係を持つ。実際、(4.3.9) と (4.3.17) は互いに含意し合う（詳細は (7.2.P15) を参照）。では、これらの定理の逆はどうだろうか？相互にはさみ込みを満たす2つの実数の集合が与えられたとき、それらはあるエルミート行列とその境界行列の固有値なのか？あるいは、エルミート行列とその階数1の加法的摂動の固有値なのか？次に述べる2つの定理は、この両方の問いに対して肯定的な答えを与える。
行列解析の総本山
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