4.1.7定理
定理 4.1.7.
与えられた行列 \(A \in Mn\) に対して、以下の記述は同値である：
(a) \(A\) は実行列に相似である。
(b) \(A\) は \(A^*\) に相似である。
(c) \(A\) はエルミート相似変換により \(A^*\) に相似である。
(d) \(A = HK\) であり、\(H, K \in Mn\) はエルミートで、少なくとも一方の因子は正則である。
(e) \(A = HK\) であり、\(H, K \in Mn\) はエルミートである。
証明. まず (a) と (b) が同値であることに注意する：任意の複素行列はその転置に相似である（3.2.3.1）、したがって \(A\) が \(A^* = \bar{A}^T\) に相似であることは、\(A\) が \(\bar{A}\) に相似であることと同値であり、さらに \(A\) が実行列に相似であることと同値である（3.4.1.7）。
(b) が (c) を含意することを確認するため、正則な \(S \in Mn\) が存在して \(S^{-1} A S = A^*\) が成り立つと仮定する。実数 \(\theta \in R\) を取り、\(T = e^{i\theta} S\) とする。すると \(T^{-1} A T = A^*\) が成り立つ。すなわち、\(A T = T A^*\) または同値に \(A T^* = T^* A^*\)。これらを加えると \(A(T + T^*) = (T + T^*) A^*\) となる。もし \(T + T^*\) が正則ならば、\(A\) はエルミート行列 \(T + T^*\) による相似で \(A^*\) に相似であることが分かる。したがって、\(\theta\) を適切に選ぶことで \(T + T^*\) が正則となることを示せばよい。
(c) を仮定して \(R^{-1} A R = A^*\) と書き、\(R \in Mn\) が正則かつエルミートであるとする。すると \(R^{-1} A = A^* R^{-1}\) であり、よって \(A = R (A^* R^{-1})\)。さらに \((A^* R^{-1})^* = R^{-1} A = A^* R^{-1}\) であるので、\(A\) はエルミート行列 \(R\) と \(A^* R^{-1}\) の積で表され、\(R\) は正則である。
\(A = HK\) で \(H\) が正則ならば、\(H^{-1} A H = KH = (HK)^* = A^*\)。もし \(K\) が正則ならば議論は同様である。したがって (d) と (b) は同値である。
もちろん (d) は (e) を含意する。次に (e) が (a) を含意することを示す。\(A = HK\) で \(H, K\) がエルミートで両方とも特異な場合、ユニタリ行列 \(U \in Mn\) を用いて \(U^* A U = (U^* H U)(U^* K U)\) とする。このとき \(U^* H U = \begin{pmatrix} D & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) で \(D \in Mk\) は正則かつ実対角行列である。\(U^* K U = \begin{pmatrix} K' & * \\ * & * \end{pmatrix}\) と分割すると、
U^* A U = (U^* H U)(U^* K U) =
\begin{pmatrix} D & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} K' & * \\ * & * \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} DK' & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
ブロック \(DK' \in Mk\) は、少なくとも一方が正則である二つのエルミート行列の積であるため、(d)、(b)、(a) の同値性により、実行列に相似であることが保証される。従って、コローラリー 3.4.1.8 より、\(U^* A U\)（したがって \(A\) も）実行列に相似である。
さらに、この特徴付け (4.1.4(a)) は、正（または非負）の値のみをとるエルミート形式を考慮することでより精密にすることができる。
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