[行列解析3.4.3.1]定理

3.4.3.1

定理 3.4.3.1 (Littlewood)：与えられた \( A \in M_n \) の相異なる固有値を任意の順序で \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d\) とし、それぞれの指数を \(q_1, \ldots, q_d\)、さらに \(q = q_1 + \cdots + q_d\) とする。このとき、\(A\) は次の形の上三角行列とユニタリ相似である。

F = \begin{bmatrix} \mu_1 I_{n_1} & F_{12} & F_{13} & \cdots & F_{1p} \\ & \mu_2 I_{n_2} & F_{23} & \cdots & F_{2p} \\ & & \mu_3 I_{n_3} & \cdots & \vdots \\ & & & \ddots & F_{p-1,p} \\ & & & & \mu_p I_{n_p} \end{bmatrix} \tag{3.4.3.2}

(a) \(\mu_1 = \cdots = \mu_{q_1} = \lambda_1;\; \mu_{q_1+1} = \cdots = \mu_{q_1+q_2} = \lambda_2;\; \ldots;\; \mu_{p-q_d+1} = \cdots = \mu_p = \lambda_d\)

(b) 各 \(j = 1, \ldots, d\) に対し、\(\mu_i = \cdots = \mu_{i+q_j-1} = \lambda_j\) である \(q_j\) 個の整数 \(n_i, \ldots, n_{i+q_j-1}\) は、\(A\) の固有値 \(\lambda_j\) に対応するワイル特性を与える。すなわち、

n_i = w_1(A,\lambda_j) \ge \cdots \ge n_{i+q_j-1} = w_{q_j}(A,\lambda_j)

もし \(A \in M_n(\mathbb{R})\) で固有値 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d \in \mathbb{R}\) ならば、\(A\) は (3.4.3.2) の形をもち、条件 (a), (b), (c) を満たす実行列 \(F\) と実直交相似である。

(3.4.3.2) の行列 \(F\) は \(A\) によって次の同値性の範囲で決定される。すなわち、もし \(A\) が (a), (b), (c) を満たす (3.4.3.2) の形の行列 \(F'\) とユニタリ相似であるなら、ブロック対角ユニタリ行列 \(U = U_1 \oplus \cdots \oplus U_p\) が存在して、\(F' = U F U^*\) となる。すなわち、

F'_{ij} = U_i^* F_{ij} U_j, \quad i \le j,\; i,j = 1,\ldots,p

証明：非特異行列 \(S \in M_n\) をとり、

A = S W_A S^{-1} = S(W_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus W_A(\lambda_d))S^{-1}

とする。ここで \(S = QR\) を QR分解 (2.1.14) とすれば、\(Q\) はユニタリ、\(R\) は上三角行列で対角成分は正、さらに

A = Q(R W_A R^{-1})Q^*

が成り立つので、\(A\) は上三角行列 \(R W_A R^{-1}\) とユニタリ相似である。ここで \(R = [R_{ij}]_{i,j=1}^d\) を \(W_A\) に適合するように分割すると、

R W_A R^{-1} = \begin{bmatrix} R_{11} W(A,\lambda_1) R_{11}^{-1} & \cdots & * \\ & \ddots & \\ & & R_{dd} W(A,\lambda_d) R_{dd}^{-1} \end{bmatrix}

よって対角ブロック \(T W(A,\lambda) T^{-1}\) の形のみを考えればよい。ここで \(T\) は対角成分が正の上三角行列であり、\(T = [T_{ij}]_{i,j=1}^q\)、\(T^{-1} = [T^{ij}]_{i,j=1}^q\) とし、対角ブロックのサイズは \(w_1 \ge \cdots \ge w_q \ge 1\) である。

対角ブロックは

T_{ii} \lambda I_{w_i} T^{ii} = \lambda I_{w_i}

となる。これは \(T^{ii} = T_{ii}^{-1}\) (0.9.10) による。上超対角ブロックは

T_{ii} G_{i,i+1} T^{i+1,i+1}

であり、これが正の対角成分をもつ上三角行列となることが確認される。

もし \(A\) が実行列で実固有値をもつならば、(2.3.1)、(3.4.2.3)、および (2.1.14) により、これらの変形（QR分解を含む）は実行列で実現できる。

最後に、もしユニタリ行列 \(V_1, V_2 \in M_n\) が存在して、\(A = V_1 F V_1^* = V_2 F' V_2^*\) かつ \(F, F'\) が条件 (a), (b), (c) を満たすならば、

(V_2^* V_1) F = F' (V_2^* V_1)

が成り立つので、(3.4.2.4) により \(V_2^* V_1 = U_1 \oplus \cdots \oplus U_p\) は \(F\) と \(F'\) に適合するブロック対角行列となり、したがって \(V_1 = V_2 (U_1 \oplus \cdots \oplus U_p)\)、かつ \(F' = U F U^*\) が得られる。

次の系は (3.4.3.1) の応用例を示す。

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)