[行列解析3.4.2.5]

3.4.2.5

定理 3.4.2.5（Belitskii）。\( A \in M_n \) を与える。固有値を任意の順序で \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d\) とし、\( w_k(A, \lambda_j), \, k=1,2,\ldots \) を固有値 \(\lambda_j\) に対応する \(A\) のワイル特性とする。各 \( j=1,2,\ldots,d \) に対し、\( W_A(\lambda_j) \) をワイルブロックとする。正則行列 \( S \in M_n \) が存在して

A = S \bigl(W_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus W_A(\lambda_d)\bigr) S^{-1}

が成り立つと仮定する。ここで \( B \in M_n \) が \( AB = BA \) を満たすとする。このとき次が成立する：

(1) \( S^{-1}BS = B^{(1)} \oplus \cdots \oplus B^{(k)} \) は \( W_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus W_A(\lambda_d) \) に適合するブロック対角行列である。

(2) 各行列 \( B^{(j)} \) は、\( W_A(\lambda_j) \) の分割 (3.4.2.1) に適合するブロック上三角行列である。

証明. 主張 (1) は基本結果 (2.4.4.2) から従う。主張 (2) は前の補題から従う。■

ワイル行列と可換な任意の行列はブロック上三角であるが、さらに詳しいことが言える。再び (3.1.16a) のジョルダン行列 \( J \) を考える。そのワイル標準形 \( W_J = W_J(0) \) は (3.4.2.2) で与えられる。

ワイル行列と可換な（必然的にブロック上三角の）行列のブロック間の関係を明らかにするため、\( W_J \) により細かい分割を施す。ここで \( m_k = w_k - w_{k+1}, \, k=1,2,3 \) とする。各 \( m_k \) は \( J \) に含まれるサイズ \( k \) のジョルダンブロックの個数である。具体的には \( m_3 = 2, m_2 = 3, m_1 = 1 \) である。従って

w_1 = m_3 + m_2 + m_1 = 6, \quad w_2 = m_3 + m_2 = 5, \quad w_3 = m_3 = 2

となる。ここで (3.4.2.2) の \( W_J \) をブロックサイズ \( m_3,m_2,m_1; m_2,m_1; m_1 \)、すなわち 2,3,1; 2,3; 2 に従って再分割する。これを「標準分割」と呼ぶ。標準分割とは、ワイルブロックの最も粗い分割のうち、対角ブロックがすべてスカラー行列（正方）であり、非対角ブロックが単位行列（正方）または零行列（非正方でもよい）となるものである。

標準分割における \( W_J \) の形は次の通りである：

(3.4.2.6)

W_J = \begin{bmatrix} 0_{2} & 0 & 0 & I_2 & 0 \\ 0_{3} & 0 & 0 & I_3 \\ 0_{1} & 0 & 0 \\ 0_{2} & 0 & I_2 \\ 0_{3} & 0 \\ 0_{2} \end{bmatrix}

ワイルブロックの対角ブロックは非増加順に並んでいるが、標準分割を施すと新しい小さな対角ブロックは必ずしも非増加順にならない。

計算すると、行列 \( N \) が \( W_J \) と可換であることと、次のブロック構造を持つことは同値である：

(3.4.2.7)

N = \begin{bmatrix} B & * & * & * \\ C & F & * & * \\ D & E & B & * \\ G & 0 & C & F \\ * & * & D & E \\ * & * & G & B \end{bmatrix} \tag{3.4.2.7}

ここで「*」ブロックには制約がない。標準分割を (3.4.2.2) の粗い分割にまとめると、\( N = [N_{ij}]_{i,j=1}^3 \) となり、\( N_{11} \in M_{w_1} = M_6, \, N_{22} \in M_{w_2} = M_5, \, N_{33} \in M_{w_3} = M_2 \) が得られる。このとき

N_{33} = [B], \quad N_{23} = \begin{bmatrix} D \\ E \end{bmatrix}, \quad N_{22} = \begin{bmatrix} B & C \\ 0 & F \end{bmatrix},

N_{12} = \begin{bmatrix} D & * \\ E & * \\ 0 & * \end{bmatrix}, \quad N_{11} = \begin{bmatrix} B & C & * \\ 0 & F & * \\ 0 & 0 & G \end{bmatrix}

すなわち次のパターンが成り立つ：

N_{22} = \begin{bmatrix} N_{33} & * \\ 0 & * \end{bmatrix}, \quad \\ N_{11} = \begin{bmatrix} N_{22} & * \\ 0 & * \end{bmatrix}, \quad \\ N_{12} = \begin{bmatrix} N_{23} & * \\ 0 & * \end{bmatrix}

一般に

(3.4.2.8)

N_{i-1,j-1} = \begin{bmatrix} N_{ij} & * \\ 0 & * \end{bmatrix}

が成り立つ。これにより、最後のブロック列から始めてブロック対角線に沿って遡ることで、標準分割におけるすべての等式（零ブロックの位置も含む）が決定される。

練習問題. \( J \in M_{4n_1+2n_2} \) を、\( J_4(\lambda) \) のコピー \( n_1 \) 個と \( J_2(\lambda) \) のコピー \( n_2 \) 個の直和とする。このとき次を説明せよ。

(a) \( w(J,\lambda) = (n_1+n_2, \, n_1+n_2, \, n_1, \, n_1) \)。

(b) 標準分割におけるブロックサイズ \( m_k = w_k - w_{k+1} \) は \((n_2, n_1; n_2, n_1; n_1; n_1)\) （ゼロ値は除外）。

W_J(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda I_{n_1+n_2} & I_{n_1+n_2} \\ \lambda I_{n_1+n_2} & G_{n_1+n_2,n_1} \\ \lambda I_{n_1} & I_{n_1} \\ \lambda I_{n_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda I_{n_1} & 0 & I_{n_1} & 0 \\ \lambda I_{n_2} & 0 & I_{n_2} \\ \lambda I_{n_1} & 0 & I_{n_1} \\ \lambda I_{n_2} & 0 \\ \lambda I_{n_1} & I_{n_1} \\ \lambda I_{n_1} \end{bmatrix}

(d) \( N W_J = W_J N \) が成り立つのは、前の行列に適合するように分割したとき、\( N \) が次の形を持つ場合に限る：

N = \begin{bmatrix} B & D & E & * & F & * \\ C & 0 & * & G & * \\ B & D & E & F \\ C & 0 & G \\ B & E \\ B \end{bmatrix}

(3.4.2.7) に対して最後の構造的単純化が可能である。\( U_3 \in M_{m_3}, U_2 \in M_{m_2}, U_1 \in M_{m_1} \) をユニタリかつ上三角行列 (2.3.1) とする。

このとき \( B = U_3 U_3^{*}, \, F = U_2 U_2^{*}, \, G = U_1 U_1^{*} \) が成り立つ（この場合は自明な分解である）。ここで

U = U_3 \oplus U_2 \oplus U_1 \oplus U_3 \oplus U_2 \oplus U_3

とおくと、

(3.4.2.9)

N' := U^{*} N U = \begin{bmatrix} B' & C' & * & D' & * & * \\ 0 & F' & * & E' & * & * \\ 0 & 0 & G' & 0 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & B' & C' & D' \\ 0 & 0 & 0 & 0 & F' & E' \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & B' \end{bmatrix}

となり、これは上三角行列である。ここで \( C' = U_3^{*} C U_2, \, D' = U_3^{*} D U_3, \, E' = U_2^{*} E U_3 \) である。\( N' \) のブロック対角上およびその上にあるブロック間の等式関係は、もとの \( N \) の場合と同じである。さらに、相似変換 \( U \) によって \( W_J \) は変化しない： \( U^{*} W_J U = W_J \) が成り立つ。

この例から驚くべき結論が得られる。すなわち、\( A \in M_{13} \) がジョルダン標準形 (3.1.16a) をもち、\( \mathcal{F} = \{ A, B_1, B_2, \ldots \} \) が可換族であるとする。また、\( S \in M_{13} \) が正則であり、\( S^{-1} A S = W_A \) がウェイル標準形 (3.4.2.11) であるとする。このとき

S^{-1} \mathcal{F} S = \{ W_A, S^{-1} B_1 S, S^{-1} B_2 S, \ldots \}

も可換族となる。各 \( S^{-1} B_i S \) は \( W_A \) と可換であるので、標準分割において (3.4.2.7) のようなブロック上三角形をもつ。したがって、各 \( j = 1, \ldots, 6 \) に対して、位置 \( (j,j) \) に現れるすべての \( S^{-1} B_i S \) の対角ブロックは可換族をなし、単一のユニタリ行列 \( U_j \) によって上三角化できる (2.3.3)。さらに、位置 (1,1), (4,4), (6,6) の対角ブロックは同一でなければならないため、\( U_1 = U_4 = U_6 \) とおく。同様に、\( U_2 = U_5 \) とおく。そこで

U = U_1 \oplus U_2 \oplus \cdots \oplus U_6

とすると、各 \( U^{*} (S^{-1} B_i S) U \) は (3.4.2.9) の形をもつ上三角行列となり、また

U^{*} S^{-1} A S U = U^{*} W_A U = W_A

が成り立つ。結論として、可換族 \(\{ A, B_1, B_2, \ldots \}\) に対して、同時相似変換を施すことで、\( A \) をウェイル標準形にし、各 \( B_i \) を (3.4.2.9) の形をもつ上三角行列にできることがわかる。

この例は一般の場合の本質的特徴をすべて含んでおり、その展開を追うことで次の定理を証明することができる。

参考:Matrix Analysis：Second Edition ISBN 0-521-30587-X.(当サイトは公式と無関係です)