[行列解析8.2]問題集

8.2.問題集

以下の問題は、ペロンの定理（定理 8.2.8）および本節で導かれた結果を応用して、正の行列や関連モデルの漸近的性質を理解するための演習である。

正の行列に関するペロン・フロベニウス理論を中心に、その逆行列の符号構造、固有値の性質、漸近挙動、そして補行列を用いた特性解析などを扱う。特にペロン固有値 \( \rho(A) \) の単純性と、それに対応する左右のペロンベクトルに関する性質が鍵となる。

8.2.P1

もし \( A \in M_n \) が正の行列であるならば、\( m \to \infty \) のとき \( A^m \) の漸近的挙動を詳細に述べよ。

8.2.P2

(6.1.8) の直後の演習では、2×2の正の行列を扱っている。この演習を (8.2.2) の直後の演習と照らし合わせて考察せよ。

8.2.P3

対角化可能性に関する仮定を設けない本節の結果を、次の行列に適用せよ。

A = \begin{bmatrix} 1 - \alpha & \beta \\ \alpha & 1 - \beta \end{bmatrix} \\ 0 \lt \alpha, \beta \lt 1

(8.0) における結論と比較せよ。

また、(8.2.8(b)) を用いて、\( A \) の固有値が異なることを説明せよ。

8.2.P4

(8.0) で述べられた、\( n > 2 \) 都市を持つ一般的な都市間移動モデルを考える。もしすべての移動係数 \( a_{ij} \) が正であるなら、\( m \to \infty \) のとき人口分布 \( p(m) \) の漸近的挙動を述べよ。

8.2.P5

\( A, B \in M_n \) であり、\( A > B > 0 \) が成り立つと仮定する。「min-max」表現 (8.2.2a) を用いて、\( \rho(A) > \rho(B) \) を示せ。

8.2.P6

もし \( A \in M_n \) が正の行列であり、\( x = [x_i] \) がそのペロンベクトルであるならば、次が成り立つことを説明せよ。

\rho(A) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} x_j

8.2.P7

\( n \ge 2 \) とし、\( A \in M_n \) を正則行列とする。

(a) もし \( A \) が正の行列であるなら、\( A^{-1} \) が非負行列にはなりえないことを示せ。

(b) もし \( A \) が非負行列であるなら、\( A^{-1} \) が非負行列となるのは、各列にちょうど1つの非零成分が存在するときに限ることを示せ。そのような行列が置換行列とどのような関係をもつか説明せよ。

8.2.P8

\( A \in M_n \) が正の行列であるとし、\( x, y \) をペロンベクトルとは限らない正のベクトルで \( Ax = \rho(A)x \)、および \( A^T y = \rho(A)y \) を満たすとする。このとき、次が成り立つことを説明せよ。

(\rho(A)^{-1} A)^m \to (y^T x)^{-1} x y^T

8.2.P9

\( A \in M_n \) を正の行列、\( x = [x_i] \) をそのペロンベクトルとする。

(a) もし \( \min_i \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \rho(A) \) または \( \max_i \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \rho(A) \) が成り立つなら、\( x_1 = \cdots = x_n \) であることを示し、さらに \( A \) のすべての行和が \( \rho(A) \) に等しいことを導け。

(b) 基本的不等式 (8.1.23) の2つについて、いずれも厳密な不等式であるか、または等号が同時に成立することを説明せよ。
加えて、すべての行和が等しい場合とそうでない場合の関係を述べよ。同様の考察を (8.1.24)、(8.1.27)、および (8.1.28) の組に対しても行え。

8.2.P10

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が正かつ対称であり、ちょうど1つの正の固有値をもつとする。このとき、すべての \( i, j = 1, \ldots, n \) に対して次が成り立つことを示せ。

a_{ij} \ge \sqrt{a_{ii} a_{jj}} \ge \min \{ a_{ii}, a_{jj} \}

8.2.P11

\( A \in M_n \) を正の行列とし、そのスペクトル半径を \( \rho(A) \)、ペロンベクトルを \( x = [x_i] \)、左ペロンベクトルを \( y \) とする。すなわち、\( Ax = \rho(A)x \)、\( y^T A = \rho(A)y^T \) が成り立つとする。ペロン固有値 \( \rho(A) \) の幾何的重複度は1であることが知られている。次を定義する：

D = \mathrm{diag}(x_1, \ldots, x_n), \quad B = D^{-1} A D

そして、\( p_B(t) = p_A(t) \) を特性多項式とする。このとき、以下の論法により、(i) \( \rho(A) \) の代数的重複度が1であり、(ii) ある \( \gamma \gt 0 \) が存在して \( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) = \gamma xy^T \) が成り立つことを示せ。

(a) \( B \) は正の行列であり、\( A \) と同じ固有値をもつ。

(b) \( B \) の各行和はすべて \( \rho(A) = \rho(B) \) に等しい。

(d) \( p_B'(t) = \mathrm{tr}\, \mathrm{adj}(tI - B) = \sum_i p_{B_i}(t) \)、ここで \( B_i \) は \( B \) の主要小行列である。

(e) 各 \( B_i \) の行和は \( \rho(B) \) より小さいので、\( \rho(B_i) \lt \rho(B) \)。

(f) 各 \( p_{B_i}(t) \) の最大の実根は \( \rho(B_i) \) であり、\( t \to \infty \) のとき \( p_{B_i}(t) \to +\infty \) だから、\( p_{B_i}(\rho(B)) \gt 0 \)。

(g) よって \( p_B'(\rho(B)) \gt 0 \)。

(h) よって \( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) = \gamma xy^T \)。

(i) \( p_B'(\rho(B)) = \mathrm{tr}\, \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) = \gamma y^T x \) なので \( \gamma \gt 0 \)。

(j) \( A \) の他の固有値を \( \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) とすると、 \[ \gamma = \frac{(\rho(A) - \lambda_2)\cdots(\rho(A) - \lambda_n)}{y^T x} \] であり、したがって \( \gamma \gt 0 \) である。

8.2.P12

正の行列 \( A \in M_n \) のスペクトル半径が代数的重複度1の固有値であることを、次の手順で示せ。

(a) \( D^{-1}AD = B \) と定義すると、\( B \) は正の行列であり \( A \) と同じ固有値をもつ。また \( B \) の各行和は \( \rho(A) \) に等しい。

(b) 最大行和ノルムに対して \( \|B\|_1 = \rho(B) \) が成り立つ。

8.2.P13

\( A \in M_n \) を正の行列とする。このとき、次が成り立つことを示せ。

\rho(A) = \lim_{m \to \infty} (\mathrm{tr}\, A^m)^{1/m}

8.2.P14

\( A \in M_n \) を正の行列とする。このとき次を説明せよ。

(a) \( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) \) は正の行列である。

(b) その各列は \( A \) のペロンベクトルの正のスカラー倍である。

8.2.P15

\( A, B \in M_n(\mathbb{R}) \) とし、\( 0 \le A \le B \) だが \( A \ne B \) と仮定する。すなわち、\( A \) のある非負成分が対応する \( B \) の成分より小さいとする。このとき (8.1.9) より \( \rho(A) \le \rho(B) \) が成り立つ。

(a) 次の例により、\( \rho(A) = \rho(B) \) が起こりうることを示せ。

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

(b) しかし、もし \( B \) が正の行列であるなら、(8.2.8) を用いて \( \rho(A) \lt \rho(B) \) であることを示せ。

8.2.P16

\( A \in M_n \) が正の行列であり、\( x \in \mathbb{R}^n \) が \( A \) の非負で零でない固有ベクトルであるとする。

このとき、(1.4.P6)および双直交性の原理に基づき、\( x \) が \( A \) の固有値 \( \lambda = \rho(A) \) 以外に対応する固有ベクトルにはなりえない理由を説明せよ。

また、なぜ \( x \) は正のベクトルでなければならないのかを説明せよ。

この問題はペロン＝フロベニウスの定理の核心部分に関係している。すなわち、正の行列 \( A \) に対して、最大固有値 \( \rho(A) \)（ペロン根）は一意であり、それに対応する固有ベクトルは全ての成分が正であることが知られている。

もし \( x \) が \( A \) の他の固有値 \( \lambda \ne \rho(A) \) に対応する固有ベクトルであれば、双直交性の原理（biorthogonality principle）より、左固有ベクトルとの内積が零になる必要がある。

しかし \( A \) が正の行列であり、\( x \) が非負ベクトルであるならば、そのような直交は成立しない。

したがって、\( x \) は必ず \( \lambda = \rho(A) \) に対応する固有ベクトルでなければならない。

さらに、\( x \) のすべての成分が正である必要がある。

なぜなら、\( A \) が正の行列であるため、\( A x \) の各成分は \( x \) の非零成分を通じてすべて正となり、固有方程式 \( A x = \rho(A) x \) から、もし \( x \) に零の成分があれば等式が成り立たなくなるためである。

したがって、\( x \) は正のベクトルでなければならない。

参考文献

固有値の比 \( |\lambda_{n-1}| / \rho(A) \) に対する多様な上界（式 (8.2.11) を含む）については、以下を参照のこと：

U. Rothblum and C. Tan, “Upper bounds on the maximum modulus of subdominant eigenvalues of nonnegative matrices,” Linear Algebra and its Applications, 66 (1985), 45–86.