7.7.10 半正定値行列に関する補題とその帰結
本稿では、エルミート行列 \( A, C \in M_p \) に関する補題（Corollary 7.7.10）を示す。特に、ブロック行列が半正定値であるための条件と、行列の逆行列との関係について述べる。
系（Corollary 7.7.10）
\( A, C \in M_p \) をエルミート行列とする。
(a) 次の条件が成り立つとき：
\begin{bmatrix}
A & I_p \\
I_p & C
\end{bmatrix} \succeq 0,
このとき、\( A \succeq 0 \)、\( C \succeq 0 \)、\( A \preceq C^{-1} \)、および \( C \preceq A^{-1} \) が成り立つ。
(b) \( A \succeq 0 \)、\( C \succeq 0 \)、かつ \( A \preceq C^{-1} \) または \( C \preceq A^{-1} \) のいずれかが成り立つとき、
\begin{bmatrix}
A & I_p \\
I_p & C
\end{bmatrix} \succeq 0
が成り立つ。
(c) \( A \succeq 0 \) のとき、
\begin{bmatrix}
A & I_p \\
I_p & A^{-1}
\end{bmatrix} \succeq 0
が成り立つ。
(d) \( A \succeq 0 \) のとき、次の三つの条件は同値である：
(i)
\begin{bmatrix}
A & I_p \\
I_p & A
\end{bmatrix} \succeq 0
(ii) \( A \preceq A^{-1} \)
(iii) \( A \preceq I \preceq A^{-1} \)
証明
(a) 仮定より \( A \succeq 0 \) および \( C \succeq 0 \) である。定理 7.7.9(b) により、ある縮小写像 \( X \) が存在して \( I = A^{1/2} X C^{1/2} \) を満たす。このとき、\( A^{1/2} \) および \( C^{1/2} \)（したがって \( A \) と \( C \)）はいずれも正則である。したがって、(7.7.9(e)) および (7.7.4(a)) より \( A \preceq C^{-1} \) および \( C \preceq A^{-1} \) が従う。
(b) および (c) は (7.7.5) から従う。
(d) (i) ⇒ (ii) および (iii) ⇒ (i) は (7.7.5) から従う。また、(ii) ⇒ (iii) は (7.7.3(a)) より従う：
A \preceq A^{-1} \Rightarrow \rho(A^{-2}) \le 1 \Rightarrow \rho(A^{-1}) \le 1 \Rightarrow A \preceq I \text{ および } I \preceq A^{-1}.
以上により証明が完了する。
この定理に現れる不等式は、複素関数論および調和解析において生じるものであり、分割された半正定値行列に関する性質として理解するのが最も自然である。
行列解析の総本山
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