[行列解析7.6]問題集

7.6.問題集

7.6.P1.

\(A \in M_n\) とする。次の命題が同値であることを示せ：

(a) \(A\) はエルミート行列に相似である。
(b) \(A\) は対角化可能であり、固有値はすべて実数である。
(c) \(A = HK\) であり、ここで \(H, K \in M_n\) はエルミートで、少なくとも一方の因子は正定値である。
(d) \(A\) は正定値相似を介して \(A^\ast\) に相似である。

(4.1.7) と比較せよ。

7.6.P2.

\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とする。もし実数 \(\alpha, \beta\) が存在して \(\alpha A + \beta B\) が正定値ならば、非特異な \(S \in M_n\) が存在して、\(S^{-1} A S^{-\ast}\) および \(S^{-1} B S^{-\ast}\) が実対角行列であることを示せ。

7.6.P3.

(7.6.5) における行列 \(A^{-1}B \bar{A}^{-1} \bar{B}\) が、正定値行列 \(A^{-T}\) と∗合同な行列に相似であることを示せ。

7.6.P4.

次のアイデアを用いて (7.6.1(b)) を証明せよ：

非特異行列 \(S \in M_n\) をとり、\(A + B = S(I_m \oplus 0_{n-m})S^\ast\) とする。

\(S^{-1} A S^{-\ast} = [A_{ij}]\) および \(S^{-1} B S^{-\ast} = [B_{ij}]\) を \(I_m \oplus 0_{n-m}\) に適合させて分割する。

(7.1.14) により \(A_{22} + B_{22} = 0 \Rightarrow A_{22} = B_{22} = 0\) となり、さらに \(A_{12} = B_{12} = 0\)。 \(A_{11} + B_{11} = I_m\) なので、\(A_{11}\) と \(B_{11}\) は可換であり、同時にユニタリ対角化可能である。

7.6.P5.

2つの実二次形式 \(5x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2\) と \(x_1^2 + 2x_1x_2 - x_2^2\) を考える。
(a) なぜ非特異な変数変換 \(x \to S\xi\) によって、これらの二次形式をそれぞれ \(\alpha_1 \xi_1^2 + \alpha_2 \xi_2^2\) および \(\beta_1 \xi_1^2 - \beta_2 \xi_2^2\)（正の係数 \(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2\)）に変換できるか説明せよ。
(b) この変換を実現する \(S\) をどのように決定できるか説明せよ。

7.6.P6.

\(A, B \in M_n\) を半正定値とする。

次を示せ：\(\det(A + B) \ge \det A + \det B\)、等号成立は \(A + B\) が特異、または \(A = 0\) あるいは \(B = 0\) の場合に限る。

7.6.P7.

\(A, B \in M_n\) をエルミートとし、\(A\) が正定値とする。(7.6.4) を用いて、\(A + B\) が正定値であるのは、\(A^{-1}B\) のすべての固有値が \(-1\) より大きい場合に限ることを示せ。

7.6.P8.

\(C \in M_n\) をエルミートとし、\(C = A + iB\)（\(A, B \in M_n(\mathbb{R})\)）と書く。もし \(C\) が正定値ならば、\(|\det B| \lt \det A\) かつ \(\det C \le \det A\) が成り立つことを示せ。詳細は次の通り：

(a) \(A\) が対称、\(B\) が斜対称であることを確認せよ。従って \(B\) の固有値は純虚数で共役ペアで現れる。
(b) \(C\) が正定値であるのは、\(A\) が正定値かつ \(i A^{-1} B\) の固有値がすべて \(-1\) より大きい場合に限ることを示せ。
(c) \(A\) が正定値ならば、\(i A^{-1}B\) の固有値は 0 か ±ペアで現れることを示せ。
(d) \(C\) が正定値ならば、\(A\) は正定値、\(i A^{-1} B\) の固有値は区間 \((-1,1)\) 内にあり、固有値は 0 か ±ペアで現れる。
(e) \(C\) が正定値ならば、\(|\det i A^{-1} B| \lt 1\) かつ \(|\det B| \lt \det A\) が成立。これは H. P. Robertson の不等式である。
(f) \(C\) が正定値ならば、\(\det C = \det A \det(I + i A^{-1} B)\)。なぜ \(0 \lt \det(I + i A^{-1} B) \le 1\) であり、等号成立は \(B = 0\) の場合に限るか？
(g) \(C\) が正定値ならば、\(\det C \le \det A\) であり、等号成立は \(B = 0\) の場合に限る。これは O. Taussky の不等式である。(7.8.19) と (7.8.24) で一般化されている。

7.6.P9.

(4.1.7) で、\(A \in M_n\) は 2 つのエルミート行列の積であるのは、\(A\) が実行列に相似である場合に限ることを示した。

(7.6.1(a)) を用いて、\(A \in M_n\) が 2 つの正定値エルミート行列の積であるのは、\(A\) が対角化可能で固有値が正の場合に限ることを示せ。

7.6.P10.

\(A, B, C \in M_n\) が正定値とする。積 \(AB\) はエルミート（\(AB = BA\)）である場合に限り正定値であることが知られている。\(S = ABC\) が正定値であるのは、\(S\) がエルミート（\(ABC = CBA\)）である場合に限ることを示せ。また、\(\operatorname{tr}(AB)\) は常に正であるが、\(\operatorname{tr}(ABC)\) が負になる例を示せ。

7.6.P11.

前問の代替証明の詳細を示せ。記法および仮定は同じとする：\(\alpha \in [0,1]\) に対して \(S(\alpha) = ((1-\alpha)C + \alpha A)BC\) とし、\(S(1)\) がエルミートであると仮定する。
(a) なぜ \(S(\alpha)\) は \(\alpha \in [0,1]\) のすべてでエルミートか？
(b) なぜ \(S(\alpha)\) は \(\alpha \in [0,1]\) のすべてで非特異か？
(c) \(S(\alpha)\) の固有値は \(\alpha\) に連続的に依存し、\(S(0)\) のすべての固有値は正、かつ \(S(\alpha)\) のすべての固有値は \(\alpha \in [0,1]\) で非ゼロであることから、\(S(1)\) のすべての固有値は正であると結論できる。

7.6.P12.半正定値エルミート行列の積の構造とジョルダン標準形

\( A, B \in M_n \) をエルミート行列とし、さらに \( A \) が半正定値であると仮定する。定理7.6.3によれば、行列積 \( AB \) は次のような直和に相似である。すなわち、正の対角行列 \( D_{+} \in M_{\pi}(\mathbb{R}) \)、負の対角行列 \( D_{-} \in M_{\nu}(\mathbb{R}) \)、零行列、そして \( J_{2}(0) \)（2×2の冪零ジョルダンブロック）の \( s \) 個のコピーとの直和である。

(a) 定理 (7.6.3) の証明を詳しく調べ、次の関係が成り立つことを示せ。

\pi \le i_{+}(B), \quad \nu \le i_{-}(B), \quad s = \operatorname{rank}(AB) - \operatorname{rank}((AB)^2)

これらの関係は式 (4.5.6) を参照することで確認できる。ここで \( i_{+}(B) \) および \( i_{-}(B) \) はそれぞれ行列 \( B \) の正および負の固有値の個数を表す。また \( s \) は \( AB \) のランクとその二乗 \( (AB)^2 \) のランクの差に対応し、ジョルダン標準形における2次の冪零ブロックの個数を意味する。

7.6.P13.

\(A, B \in M_n(\mathbb{R})\) を対称かつ正定値とし、\(x(t) = [x_1(t) \dots x_n(t)]^T\) とする。(7.6.2(a)) または (7.6.4(a)) を用いて、\(Ax''(t) = -Bx(t)\) の任意の解 \(x(t)\) が \((-\infty, \infty)\) 上で有界であることを示せ。

7.6.P14.

\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とする。(a) \(A\) が正定値、または \(A\) と \(B\) が半正定値の場合、\(\rho(AB) = 0\) は \(AB = 0\) と同値であることを示せ。(b) \(A\) が半正定値で \(\rho(AB) = 0\) のとき、\(AB = 0\) か？

7.6.P15.

\(A, B \in M_n\) を半正定値かつ零でないとする。次を示せ：

\operatorname{tr}(AB) = \| A^{1/2} B^{1/2} \|_2^2 \ge 0

等号成立は \(AB = 0\) の場合に限る。

7.6.P16.

\(A, B \in M_n\) をエルミート行列とし、\(A\) が半正定値であると仮定する。次を示せ：\(AB\) が実対角行列に相似であるのは、\(\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}((AB)^2)\) の場合に限る。

7.6.P17.

\(S \subset M_n\) を正定値行列を少なくとも1つ含む、コンパクト凸集合とする。(a) \(\mu = \sup\{\det A : A \in S\}\) が正かつ有限であること、また \(\mu = \det Q\) を満たす行列 \(Q \in S\) が存在することを説明せよ。(b) (7.6.9b) を用いて、もし \(A_1, A_2 \in S\) かつ \(\det A_1 = \det A_2 = \mu\) ならば、\(A_1 = A_2\) であることを示せ。(c) 結論として、\(\det Q = \max\{\det A : A \in S\}\) を満たす唯一の行列 \(Q \in S\) が存在する。

7.6.P18.

正定値行列 \(A \in M_n(F)\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）に対して、楕円体 \(E(A) = \{ x \in F^n : x^* A x \le 1 \}\) を考える。次を示せ：\(E(A)\) はノルム

\nu_A(x) = \| A^{1/2} x \|_2

の単位球であり、凸集合である。

7.6.P19.

\(A \in M_n(\mathbb{R})\) が正定値とする。次を示せ：楕円体 \(E(A)\) の体積は

\operatorname{vol}(E(A)) = \frac{c_n}{\sqrt{\det A}}

であり、ここで \(c_n = \pi^{n/2}/(1 + n/2)\) は \(\mathbb{R}^n\) のユークリッド単位球の体積である。再帰関係 \(c_1 = 2, c_2 = \pi, c_n = 2 \pi / n \, c_{n-2}\)（\(n \ge 3\)）が成り立つ。大きな行列式は小さな体積に対応することに注意。

7.6.P20.

\(F^n\) 上のノルム \(\| \cdot \|\) を考え、次の集合を定義する：

E(\|\cdot\|) = \{ B \in M_n(F) : B \text{ は半正定値かつ } x^* B x \le \|x\|^2 \text{ すべての } x \in F^n \}

正定値行列 \(A \in M_n(F)\) とノルム \(\nu_A(x) = \| A^{1/2} x \|_2\) を考える（7.6.P18参照）。単位球は \(E(A)\) である。次を示せ：(a) 任意の正定値 \(B \in E(\|\cdot\|)\) に対して \(\|\cdot\|\) の単位球は \(E(B)\) に含まれる、(b) ある \(\varepsilon > 0\) が存在して \(\varepsilon^2 \nu_A(x)^2 \le \|x\|^2\) がすべての \(x \in F^n\) に成り立ち、\(\varepsilon^2 A \in E(\|\cdot\|)\)、(c) \(E(\varepsilon^2 A)\) は \(\|\cdot\|\) の単位球を含む、(d) \(E(\|\cdot\|)\) は凸かつコンパクト（閉かつ有界、任意のノルムに対して）であり、正定値行列を含む、(e) 最大行列式を持つ唯一の正定値行列 \(Q \in E(\|\cdot\|)\) が存在する、(f) \(F = \mathbb{R}\) の場合、\(Q \in E(\|\cdot\|)\) は唯一の正定値行列であり、\(\operatorname{vol}(E(Q)) = \min \{ \operatorname{vol}(E(B)) : B \text{ 正定値で } E(B) \text{ が単位球を含む}\}\)。

楕円体 \(E(Q)\) はノルム \(\|\cdot\|\) に対応する Loewner 楕円体である。正定値行列 \(L = Q^{1/2}\) はノルム \(\|\cdot\|\) に対応する Loewner–John 行列である。\(\|\cdot\|\) の単位球は \(\nu_Q(\cdot) = \| L \cdot \|^2\) の単位球に含まれ、かつ接している。したがって \(\|Lx\|^2 \le \|x\|^2\) がすべての \(x \in F^n\) に成り立ち、ある非零ベクトル \(x_0\) で等号が成立する。また、任意の \(|c| = 1\) に対して \(\| L(c x_0) \|^2 = \| c x_0 \|^2\) が成り立つ。

7.6.P21.

（継続；同じ表記）ノルム \(\|\cdot\|\) の等長変換群を

F_{\|\cdot\|} = \{ A \in M_n(F) : A \text{ は } \|\cdot\| \text{ に対して等長変換} \}

とする（5.4.P11参照）。\(A \in F_{\|\cdot\|}\) （よって \(|\det A| = 1\)）、ノルム \(\|\cdot\|\) に対応する Loewner–John 行列を \(L\)、\(Q = L^2\) とすると、次が成り立つことを示せ：(a)

x^* A^* Q A x = (A x)^* Q (A x) \le \| A x \|^2 = \| x \|^2

よって \(A^* Q A \in E(\|\cdot\|)\)。(b)

\det(A^* Q A) = |\det A|^2 \det Q = \det Q

従って

A^* Q A = Q

(c) (7.6.11) から、\(F = \mathbb{C}\) の場合は \(L A L^{-1}\) はユニタリ、\(F = \mathbb{R}\) の場合は実直交行列である (7.6.12)。(d) \(F\) は有界な乗法行列群であり、各要素は同じ正定値行列 \(L\) を通じてユニタリ行列に相似である。各要素は対角化可能であり、\(L F L^{-1}\) は \(M_n(F)\) のユニタリ群の部分群である。

7.6.P22.

\| x \|_G = \sup \{ \| B x \| : B \in G \}

は \(F^n\) 上のノルムを定義する。(b) \(A \in G\) の場合、

\| A x \|_G = \sup \{ \| B A x \| : B \in G \} = \sup \{ \| C x \| : C \in G \} = \| x \|_G

7.6.P23.

（継続；同じ表記）\(G \subset M_n(F)\) は有界な乗法行列群とする。前二つの問題から、ノルム \(\|\cdot\|_G\) に対応する Loewner–John 行列 \(L\) は正定値であり、各 \(A \in G\) に対して \(L A L^{-1}\) はユニタリであることが分かる。これは Auerbach の定理の強形式である：有界な複素（または実）行列群は、ユニタリ（または実直交）行列群に相似である。

7.6.P24.

（継続；同じ表記）\(F^n\) 上の絶対ノルム \(\|\cdot\|\) に対して、その Loewner–John 行列は正の対角行列であることを示せ。

7.6.P25.

（継続；同じ表記）置換不変な絶対ノルム（すなわち対称ゲージ関数） \(\|\cdot\|\) の Loewner–John 行列を \(L\) とする。示せ：

L = \alpha I, \quad \alpha = \min \{ \| x \| : \| x \|_2 = 1 \}

7.6.P26.

\(F^n\) 上の \(l_p\) ノルムに対応する Loewner–John 行列 \(L\) は

L = \alpha I, \quad \alpha = \begin{cases} 1 & 1 \le p \le 2 \\[2mm] n^{(p-2)/(2p)} & p \ge 2 \end{cases}

7.6.P27.

\(\|\cdot\|\) を \( \mathbb{R}^n\) 上のノルムとする。(a) 標準基底 \(e_i\) を用いて

\operatorname{vol} E(Q) \ge c_n \prod_{i=1}^n \| e_i \|

(b) 標準化ノルム（\(\sum_i \| e_i \| \le 1\)）の場合、\(\operatorname{vol} E(Q) \ge c_n\) となる。(c) \(n = 2\) かつ \(l_p\) ノルム \(\|\cdot\|_p\) の場合、\(\operatorname{vol} E(Q) \ge \pi\)。さらに \(1 \le p \le 2\) の場合の \(E(Q)\)、および \(p = \infty\) の場合の \(E(Q)\) を確認せよ。

7.6.P28.

一般結果 (4.5.17(a)) から (7.6.4(a)) を導け。

7.6.P29.

一般結果 (4.5.17(c)) から (7.6.5) を導け。

参考文献：

様々な正値クラスの行列積に関する結果については、C. S. Ballantine および C. R. Johnson, "Accretive matrix products," Linear Multilinear Algebra 3 (1975) 169–185 を参照。

7.6.P12(c) の主張の証明については、R. A. Horn および Y. P. Hong, "The Jordan canonical form of a product of a Hermitian and a positive semidefinite matrix," Linear Algebra Appl. 147 (1991) 373–386 を参照。

7.6.P18〜P25 の問題は、E. Deutsch および H. Schneider, "Bounded groups and norm-Hermitian matrices," Linear Algebra Appl. 9 (1974) 9–27 から採用されており、Loewner–John 行列の他の応用も含まれている。