[行列解析7.3.P4]

7.3.問題4

\( A \in M_{m,n} \) とし、次のような特異値分解をもつとする：

A = V \Sigma W^{*}

ここで、\(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_q)\) であり、\( V = [v_1, \ldots, v_m] \)、\( W = [w_1, \ldots, w_n] \) と分割する。

(a) 各 \( k = 1, \ldots, q \) に対して次を示せ：

A^{*} v_k = \sigma_k w_k, \quad A w_k = \sigma_k v_k, \quad v_k^{*} A w_k = \sigma_k

単位ベクトル \( w_k \) は \( A \) の（右）特異ベクトルであり、単位ベクトル \( v_k \) は \( A \) の左特異ベクトルである。

(b) \( i \in \{1, \ldots, q\} \) に対して、次の関係を示せ：

\max\{\|A x\|_2 : x \in \mathrm{span}\{w_i, \ldots, w_n\}, \|x\|_2 = 1\} = \sigma_i

= \min\{\|A x\|_2 : x \in \mathrm{span}\{w_1, \ldots, w_i\}, \|x\|_2 = 1\}