7.3.3定理：特異値とエルミート行列の固有値の関係
\( A \in M_{n,m} \) とし、\( q = \min\{n, m\} \)、さらに \( \sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_q \) を \( A \) の順序付けられた特異値とする。このとき、次のエルミート行列を定義する。
\mathcal{A} =
\begin{bmatrix}
0 & A \\
A^{*} & 0
\end{bmatrix}
この行列 \(\mathcal{A}\) の順序付けられた固有値は次のようになる。
-\sigma_1 \le \cdots \le -\sigma_q \le
\underbrace{0 = \cdots = 0}_{|n - m|\text{ 個}}
\le \sigma_q \le \cdots \le \sigma_1
証明：\( n \ge m \) の場合を考える。特異値分解 \( A = V \Sigma W^{*} \) をとる。ただし \( \Sigma = [\Sigma_m \; 0]^T \in M_{n,m} \) とし、ユニタリ行列 \( V = [V_1 \; V_2] \in M_{n} \) において \( V_1 \in M_{n,m} \) とする。
次を定義する：
\hat{V} = \frac{V_1}{\sqrt{2}}, \quad
\hat{W} = \frac{W}{\sqrt{2}},
そして次の行列 \( U \in M_{m+n} \) を構成する。
U =
\begin{bmatrix}
\hat{V} & -\hat{V} & V_2 \\
\hat{W} & \hat{W} & 0_{m,\,n-m}
\end{bmatrix}
計算により \( U \) はユニタリ行列であることが分かり、次が成り立つ。
\mathcal{A}
= U
\begin{bmatrix}
\Sigma_m & 0 & 0 \\
0 & -\Sigma_m & 0 \\
0 & 0 & 0_{n-m}
\end{bmatrix}
U^{*}
もし \( m \lt n \) の場合は、代わりに \( A^{*} \) を考えれば同様に示される。∎
この定理は、エルミート行列の固有値の性質と、任意の行列の特異値の性質を結びつける架け橋となるものである。たとえば、この関係の応用例は式 (7.3.P16) に示されている。
続く2つの系（corollary）は、この定理を応用するものである。最初の系は、エルミート行列の固有値に関するWeylの不等式およびHermitian Hoffman–Wielandtの定理から導かれる特異値の摂動に関する結果である。2つ目の系は、エルミート行列に対するCauchyの交錯定理をもとにした交錯定理である。
行列解析の総本山
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