7.3.2定理（薄い特異値分解と標準特異値分解）
\( A \in M_{n,m} \) とし、\( q = \min\{n,m\} \)、\( r = \mathrm{rank}\,A \) とする。次を仮定する： \( A^{*}A = W \Sigma W^{*} \)。ここで、\( W \in M_m \) はユニタリ行列、\( \Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_r^2) \oplus 0_{m-r} \)、および \( \sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r \gt 0 \) は \( A \) の正の特異値（singular values）である。 \( \Sigma_r = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r) \in M_r \) と定義し、 次のようにおく：
\Sigma =
\begin{bmatrix}
\Sigma_r & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\in M_{n,m}.
(a) （薄いSVD）\( W = [W_1\; W_2] \) と分割し、\( W_1 \in M_{m,r} \) とする。 このとき、直交列をもつ \( V_1 \in M_{n,r} \) が存在して、 次が成り立つ：
A = V_1 \Sigma_r W_1^{*}.
(b) ユニタリ行列 \( V \in M_n \) が存在して、
A = V \Sigma W^{*}
が成り立つ。
(c) もし \( A \) が実行列であれば、(a) および (b) における行列 \( W, V, V_1 \) は実行列としてとることができる。
証明
(a) \( D = \Sigma_r \oplus I_{m-r} \in M_m \) とおき、次のように定義する：
X = A W D^{-1} = [V_1\; Z] \in M_{n,m},
ここで \( V_1 \in M_{n,r} \) とする。このとき、
X^{*}X = D^{-1} W^{*} A^{*} A W D^{-1} = D^{-1} \Sigma D^{-1} = I_r \oplus 0_{m-r}.
ブロック行列の積を計算すると、
\begin{bmatrix}
I_r & 0 \\
0 & 0_{m-r}
\end{bmatrix}
= X^{*} X
=
\begin{bmatrix}
V_1^{*} \\
Z^{*}
\end{bmatrix}
[V_1\; Z]
=
\begin{bmatrix}
V_1^{*} V_1 & * \\
* & Z^{*} Z
\end{bmatrix}.
したがって \( Z = 0 \)、\( V_1 \) は直交列を持ち、さらに
A = X D W^{*} = [V_1\; 0] (\Sigma_r \oplus I_{n-r})
\begin{bmatrix}
W_1^{*} \\
W_2^{*}
\end{bmatrix}
= V_1 \Sigma_r W_1^{*}.
(b) \( V = [V_1\; V_2] \in M_n \) をユニタリ行列とすると、
A = V_1 \Sigma_r W_1^{*}
= [V_1\; V_2]
\begin{bmatrix}
\Sigma_r & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
W_1^{*} \\
W_2^{*}
\end{bmatrix}
= V \Sigma W^{*}.
(c) \( A \) が実行列である場合、\( A^{*}A = A^{T}A \) は実対称行列であり、実直交行列 \( W \) によって対角化できる。
補足
任意の \( A \in M_{n,m} \) に対して、エルミート行列 \( A^{*}A \) は \( A \) の特異値を与える固有値をもつが、
\( A^{*}A \) の固有値と \( A \) の特異値との関係は非線形である。
この点に関して、\( A \) に関連するもう一つのエルミート行列のほうがより良い性質をもつ。
行列解析の総本山
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