この節の目次
- 4.4.2 補題
4.4 ユニタリ合同と複素対称行列
複素エルミート行列と複素対称行列は、ともに複素平面における単位円板の解析写像の研究に現れる。もし \( f \) が単位円板上の複素解析関数で、正規化条件 \( f(0) = 0 \), \( f'(0) = 1 \) を満たすとき、\( f(z) \) が一対一（単葉あるいは schlicht とも呼ばれる）であることと、グルンスキーの不等式を満たすことは同値である。
\sum_{i,j=1}^n x_i \overline{x_j} \log \frac{1}{1 - z_i \overline{z_j}}
\;\;\ge\;\;
\sum_{i,j=1}^n x_i x_j \log \left( \frac{z_i z_j f(z_i) f(z_j)}{(f(z_i)-f(z_j))(z_i - z_j)} \right)
ここで \( z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}, |z_i| \lt 1 \)、\( x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{C} \)、そして \( n=1,2,\ldots \) に対して成り立つ。もし \( z_i = z_j \) のときは右辺の差商を \( f'(z_i) \) と解釈し、また \( z_i = 0 \) のときは \( z_i / f(z_i) = 1 / f'(0) \) と解釈する。これらの強力な不等式は次の非常に単純な代数的形に書き換えられる。
x^* A x \;\ge\; |x^T B x|
ここで \( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n, A = [a_{ij}] \in M_n, B = [b_{ij}] \in M_n \) であり、
a_{ij} = \log \frac{1}{1 - z_i \overline{z_j}},
\quad
b_{ij} = \log \left( \frac{z_i z_j f(z_i) f(z_j)}{(f(z_i)-f(z_j))(z_i - z_j)} \right)
行列 \( A \) はエルミート行列であり、行列 \( B \) は複素対称行列である。グルンスキーの不等式のより単純な同値形式については (7.7.P19) を参照されたい。
(4.4.1) においてユニタリ変換 \( x \to Ux \) を行えば、\( A \to U^*AU \) はユニタリ相似によって変換され、\( B \to U^TBU \) はユニタリ合同によって変換される。
複素対称行列は様々なモーメント問題に現れる。例えば、複素数列 \( a_0, a_1, a_2, \ldots \) が与えられたとし、\( n \geq 1 \) を与えられた整数とすると、次を定義できる。
A_{n+1} = [a_{i+j}]_{i,j=0}^n \in M_{n+1}
これは複素対称ハンケル行列である。このとき \( x \in \mathbb{C}^{n+1} \) に対し二次形式 \( x^T A_{n+1} x \) を考え、ある定数 \( c \gt 0 \) が存在して、
|x^T A_{n+1} x| \;\le\; c x^* x,
\quad \\
\forall x \in \mathbb{C}^{n+1}, \; n=0,1,2,\ldots
が成り立つかを問う。ネハリの定理によれば、この条件が成り立つのは、ルベーグ可測かつほとんど至る所有界な関数 \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{C} \) が存在し、そのフーリエ係数が与えられた数列 \( a_0,a_1,a_2,\ldots \) である場合に限られる。このとき定数 \( c \) は \(|f|\) の本質上限である。
複素対称行列は、線形システムの減衰振動、連続体における波動伝播の古典理論、さらには一般相対性理論の研究に現れる。
ユニタリ相似は正規行列やエルミート行列の研究における自然な同値関係である。つまり、\( U \) がユニタリ行列で \( A \) が正規（あるいはエルミート）であるとき、\( U^*AU \) もまた正規（あるいはエルミート）である。一方、ユニタリ合同は複素対称行列や斜対称行列の研究における自然な同値関係であり、\( U \) がユニタリ行列で \( A \) が対称（あるいは斜対称）ならば、\( U^TAU \) もまた対称（あるいは斜対称）となる。
ユニタリ合同の研究においては、\( A, B \in M_n \) がユニタリ合同であるとき、\( A \overline{A} \) と \( B \overline{B} \) がユニタリ相似であり、したがって同じ固有値をもつという事実が頻繁に用いられる。
練習問題.
\( A, B \in M_n \) がユニタリ合同、すなわちあるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して \( A = UBU^T \) が成り立つとする。このとき、\( A \overline{A} \) と \( B \overline{B} \)、\( AA^* \) と \( BB^* \)、\( A^T \overline{A} \) と \( B^T \overline{B} \) がいずれもユニタリ相似であることを説明せよ。さらに、これら3つのユニタリ相似は同じユニタリ行列によって実現できることを示せ。
練習問題.
\( A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \; B = 0_{2} \) とする。このとき \( A \overline{A} = B \overline{B} \) であることを示し、しかし \( A \) と \( B \) がユニタリ合同ではない理由を説明せよ。
練習問題.
\( A \in M_n \) が上三角行列であるとする。このとき \( A \overline{A} \) の固有値がすべて実数かつ非負であることを説明せよ。ヒント: 主対角成分は何か。
練習問題.
\( A = [a] \in M_1 \) とし、\( a = |a|e^{i\theta}, \theta \in \mathbb{R} \) とする。このとき \( A \) が実行列 \( B = [|a|] \) とユニタリ合同であることを示せ。ヒント: \( U = [e^{-i\theta/2}] \) を考える。
既に知られているように（(2.6.6a) 参照）、複素対称行列 \( A \) はユニタリ合同によって非負の対角行列に合同変換でき、その対角成分は \( A \) の特異値となる。本節では、この基本的な結果がユニタリ合同による因数分解の結果であり、(2.3.1) の類似形であることを示す。すなわち、任意の複素行列はユニタリ合同によってブロック上三角行列に変換でき、その対角ブロックは \(1 \times 1\) か \(2 \times 2\) である。我々の最初のステップは、\( A \overline{A} \) の非負の固有値を用いて、ユニタリ合同により部分的な三角化を達成できることを示すことである。
行列解析の総本山
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