4.1問題集
4.1.P1
エルミート行列の主小行列はすべてエルミートであることを示せ。歪エルミート行列や正規行列でも同様か？ 証明するか反例を示せ。
4.1.P2
\(A \in M_n\) がエルミートで \(S \in M_n\) のとき、\(SAS^*\) がエルミートであることを示せ。非特異な場合の \(SAS^{-1}\) はどうか？
4.1.P3
\(A, B \in M_n\) がエルミートのとき、A と B が相似であることとユニタリ相似であることは同値であることを示せ。
4.1.P4
(4.1.1) の後の1–9の次の主張を確認せよ。
4.1.P5
行列がすべて実固有値をもつことを、エルミート行列に相似であることから示せる場合がある。
\(A = [a_{ij}] \in M_n(R)\) を三重対角行列(主対角とその上下１つだけが非零)とし、すべての \(i = 1, 2, \dots, n-1\) について \(a_{i,i+1} a_{i+1,i} > 0\) とする。
正の対角要素をもつ実対角行列 D が存在して、\(DAD^{-1}\) が対称行列となることを示し、\(A\) の固有値がすべて実であることを結論せよ。
次の行列を考えよ：
\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}
非対角要素の符号に関する仮定が必要である理由を説明せよ。
すべての \(i = 1, 2, \dots, n-1\) について \(a_{i,i+1}a_{i+1,i} \ge 0\) である場合でも、固有値が実である結論が成り立つことを極限を使って示せ。
4.1.P6
\(A = [a_{ij}], B = [b_{ij}] \in M_n\) が与えられたとき、
(a) すべての \(x \in \mathbb{C}^n\) について \(x^*Ax = x^*Bx\) ならば \(A = B\) であることを示せ。すなわち、複素行列は生成する半双線形形式によって決定される。
4.1.P7
\(A, B \in M_n(F)\) が与えられ、\(n \ge 2\)、\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) のとき、すべての \(x \in F^n\) に対して \(x^T Ax = 0\) であることと \(A^T = -A\) であることは同値であることを示せ。さらに、すべての \(x \in F^n\) に対して \(x^T Ax = x^T Bx\) であっても \(A = B\) とは限らない例を示せ。すなわち、実行列や複素行列は生成する二次形式によっては決定されない。
4.1.P8
行列 \(A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) を考え、すべての \(x \in \mathbb{C}^2\) について \(|x^*Ax| = |x^*A^T x|\) であることを示せ。これにより、生成するエルミート形式の絶対値によって行列は決定されないことがわかる。
4.1.P9
\(A \in M_n\) は生成する半双線形形式の絶対値によってほぼ決定されることを示せ。すなわち、\(A, B \in M_n\) が与えられ、すべての \(x, y \in \mathbb{C}^n\) について \(|x^*Ay| = |x^*By|\) であることと、ある \(\theta \in \mathbb{R}\) に対して \(A = e^{i\theta} B\) であることは同値である。
4.1.P10
\(A \in M_n\) がエルミートであることは \(iA\) が歪エルミートであることと同値であることを示せ。歪エルミート行列 \(B \in M_n\) について、
(a) \(B\) の固有値は純虚数である、
(b) \(B^2\) の固有値は実で非正であり、かつ \(B = 0\) のときに限りすべての固有値が 0 であることを示せ。
4.1.P11
\(A, B \in M_n\) がエルミートのとき、なぜ \(AB - BA\) が歪エルミートとなるかを説明し、(4.1.P10) から \(\mathrm{tr}(AB)^2 \le \mathrm{tr}(A^2B^2)\) が成り立ち、等号成立は \(AB = BA\) のときに限ることを導け。
4.1.P12
\(A \in M_n\) が与えられたとき、\(A\) がエルミートならば、\(\mathrm{rank}\,A\) は非零固有値の数に等しいことを説明せよ。ただし、非エルミート行列では必ずしも成り立たない。\(A\) が正規行列ならば \(\mathrm{rank}\,A \ge \mathrm{rank}\,H(A)\) であり、等号成立は A が非零の虚固有値を持たないときに限る。正規性の仮定は省略できるか？
4.1.P13
\(A \in M_n\) が非零であるとする。
(a) \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^*A}\) が成り立ち、等号成立はある非零 \(a \in \mathbb{C}\) とエルミート射影 \(H\) が存在して \(A = aH\) のときに限ることを示せ。
(b) A が正規行列ならば、\(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,H(A)|^2}{\mathrm{tr}\,H(A)^2}\) であることを説明せよ。
したがって、\(A\) がエルミートの場合には \(\mathrm{rank}\,A \ge \frac{|\mathrm{tr}\,A|^2}{\mathrm{tr}\,A^2}\) が成り立つ。
4.1.P14
ある \(\theta \in \mathbb{R}\) に対して \(A = e^{i\theta} A^*\) が成り立つことと、\(e^{-i\theta/2} A\) がエルミートであることは同値であることを示せ。
\(\theta = \pi\) の場合、\(\theta = 0\) の場合はどうなるか？
歪エルミート行列のクラスが本質的にエルミートな無限に多くのクラスの一つとして考えられる理由を説明し、それぞれのクラスの構造を述べよ。
4.1.P15
\(A \in M_n\) がエルミート行列に相似であることは、対角化可能であり、固有値が実数であることと同値である理由を説明せよ。
追加の同値条件については (7.6.P1) を参照。
4.1.P16
任意の \(s, t \in \mathbb{R}\) に対して、\(\max\{|s|, |t|\} = \frac{1}{2}(|s+t| + |s-t|)\) であることを示せ。任意の \(A \in M_2\) エルミート行列について、\(\rho(A) = \frac{1}{2}|\mathrm{tr} A| + \frac{1}{2}(\mathrm{tr} A^2 - 2 \det A)^{1/2}\) を導け。
4.1.P17
\(A = [a_{ij}] \in M_2\) がエルミートで、固有値が \(\lambda_1, \lambda_2\) のとき、\((\lambda_1 - \lambda_2)^2 = (a_{11} - a_{22})^2 + 4|a_{12}|^2\) を示し、\(\operatorname{spread} A ≥ 2|a_{12}|\) であり、等号成立は \(a_{11} = a_{22}\) の場合に限ることを導け。
4.1.P18
\(A \in M_n\) が与えられたとき、A がエルミートであることは \(A^2 = A^*A\) と同値であることを示せ。
4.1.P19
\(A \in M_n\) が射影行列 \(A^2 = A\) の場合、\(A\) がエルミートであるとき、Hermitian projection と呼ぶ。さらに、\(A\) の像が零空間に直交している場合、orthogonal projection と呼ぶ。(4.1.5) および (4.1.4) を用いて、\(A\) が Hermitian projection であることは orthogonal projection であることと同値であることを示せ。
4.1.P20
\(A \in M_n\) が射影であるとする。
このとき、\(A\) がエルミート行列であることと、\(AA^{*}A = A\) が成り立つことは同値であることを示せ。
4.1.P21
\(n \geq 2\) とし、\(x, y \in \mathbb{C}^n\)、および \(z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\) を与える。次を考える：
エルミート行列 \(A = xy^{*} + yx^{*} = [x \; y][y \; x]^{*}\)、歪エルミート行列 \(B = xy^{*} - yx^{*} = [x \; -y][y \; x]^{*}\)。
(a) \(A\) の固有値が \(\operatorname{Re}(y^{*}x) \pm \sqrt{ \lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2 - (\operatorname{Im}(y^{*}x))^2 }\) （\(x\) と \(y\) が一次独立なら1つは正、1つは負）と、さらに \(n-2\) 個のゼロ固有値であることを示せ。
(b) \(B\) の固有値が \( {\small i \left(\operatorname{Im}(y^{*}x) \pm \sqrt{ \lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2 - (\operatorname{Re}(y^{*}x))^2 }\right) }\) であることを示せ。
(c) \(x, y\) が実数ベクトルの場合、\(A\) と \(B\) の固有値はどうなるか。
(d) \(C = [z_i + \overline{z_j}] \in M_n\) の固有値が
{\scriptsize
\operatorname{Re}\left(\sum_{i=1}^n z_i\right) \pm \sqrt{ n \sum_{i=1}^n |z_i|^2 - \left(\operatorname{Im}\left(\sum_{i=1}^n z_i\right)\right)^2 }
}（すべての \(z_i\) が等しくない場合、1つは正、1つは負）と、さらに \(n-2\) 個のゼロ固有値であることを示せ。
(e) \(D = [z_i - \overline{z_j}] \in M_n\) の固有値は何か。
(f) すべての \(z_i\) が実数のとき、\(C\) と \(D\) の固有値はどうなるか。特別な場合 (1.3.25) および (1.3.26) を用いて確認せよ。
4.1.P22
エルミート行列 \(A\) の正半定部分 \(A^{+}\) の定義 (4.1.12) において、対角因子 \(\Lambda^{+}\) は一意に定まるが、ユニタリ因子 \(U\) は一意ではない。
その理由を説明せよ。(2.5.4) の一意性の部分を用いて、\(A^{+}\)（および \(A^{-}\)）がそれでもなおよく定義される理由を説明せよ。
4.1.P23
\(A, B \in M_n\) がエルミートであるとする。次を示せ：
(a) \(AB\) がエルミートであることと、\(A\) が \(B\) と可換であることは同値である。
(b) \(\operatorname{tr}(AB)\) は実数である。
4.1.P24
\(A \in M_n\) をエルミート行列とする。このとき次を説明せよ：
4.1.P25
\(A \in M_n\) をエルミート行列とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。このとき、複合行列 \(C_r(A)\) がエルミートであることを説明せよ。
さらに、\(A\) が正定値（または正半定値）ならば、\(C_r(A)\) も正定値（または正半定値）であることを説明せよ。
4.1.P26
エルミート行列 \(P \in M_n\) が射影であることと、あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して
P = U (I_k \oplus 0_{n-k}) U^{*}, \quad 0 \leq k \leq n
が成り立つことは同値であることを示せ。
4.1.P27
\(A, P \in M_n\) とし、\(P\) が \(0\) でも \(I\) でもないエルミート射影であるとする。このとき、\(A\) が \(P\) と可換であることと、\(A\) があるユニタリ相似によって
A \sim B \oplus C, \quad B \in M_k, \; C \in M_{n-k}, \;\\
1 \leq k \leq n-1
の形にできることは同値であることを示せ。
4.1.P28
\(A \in M_n\) が \(B \oplus C\) にユニタリ相似である場合、ここで \(B \in M_k\)、\(C \in M_{n−k}\)、\(1 \le k \le n−1\) とする。このとき、\(A\) はユニタリ可約（unitarily reducible）であると言い、そうでない場合はユニタリ不可約（unitarily irreducible）であると言う。
\(A\) がユニタリ不可約であることは、\(A\) と可換する唯一のエルミート射影行列が零行列と単位行列であることと同値である理由を説明せよ。
4.1.P29
\(A \in M_n\) がエルミートまたは実対称行列であるとする。\(A\) が不定（indefinite）であることは、少なくとも1つの正の固有値と少なくとも1つの負の固有値を持つことと同値である理由を説明せよ。
4.1.P30
\(A \in M_n\) がエルミートで \(\mathrm{rank}\,A = r > 0\) とする。\(A\) は rank-principal であるため、サイズ \(r\) の非零主小行列式を持つことが知られている（0.7.6 を参照）。しかし、さらに次のことが言える。
(4.1.5) を用いて \(A = U \Lambda U^*\) と書ける。ここで \(U \in M_n\) はユニタリ、\(\Lambda = \Lambda_r \oplus 0_{n−r}\) は実対角行列である。
(a) なぜ \(\det \Lambda_r\) が実数かつ非零であるかを説明せよ。
(b) \(U = [V \; U_2]\) と分割し、\(V \in M_{n,r}\) とする。なぜ \(A = V \Lambda_r V^*\) が成り立つか説明せよ。これは \(A\) のフルランク分解である。
(c) \(\alpha, \beta \subseteq \{1, …, n\}\) をサイズ \(r\) のインデックス集合とし、\(V[\alpha, ∅^c] = V_\alpha\) とする。なぜ \(A[\alpha, \beta] = V_\alpha \Lambda_r V_\beta^*\) が成り立つか、また \(\det A[\alpha] = |\det V_\alpha|^2 \det \Lambda_r\) となる理由、さらに \(\det A[\alpha] \det A[\beta] = \det A[\alpha, \beta] \det A[\beta, \alpha]\) が成り立つ理由を説明せよ。
(d) なぜ \(A[\alpha] = V_\alpha \Lambda_r V_\alpha^*\) という分解により、\(A\) は少なくとも1つのサイズ \(r\) の非零主小行列式を持ち、かつすべてのそのような小行列式が同符号であることが保証されるか説明せよ。\(A\) が正規行列の場合のこの結果のバージョンについては (2.5.P48) を参照。
注記：
おそらく (4.1.5) の最初期のバージョンは 1829 年の A. Cauchy によるものである。彼は、実対称行列 \(A\) の固有値が実数であること、実二次形式 \(Q(x_1, …, x_n) = x^T A x\) が実正交変数変換により、実線形形式の二乗の実数倍の和に変換できることを示した。
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