3.5.問題13
演習 3.5.P13.
補零定理（law of complementary nullities, 0.7.5）に関する次のアプローチの詳細を示せ。この方法は、LPU 分解を用いて、一般の場合を（簡単な）置換行列の場合から導くものである。
(a) \( A \in M_n \) を非特異行列とする。\( A \) と \( A^{-1} \) を次のように適合的に分割する：
A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \quad
A^{-1} = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}
補零定理は次を主張する：
\text{nullity } A_{11} = \text{nullity } B_{22}
これは我々が証明すべき内容である。
(b) \( A = L P U \) を LPU 分解とする。このとき、
A^{-1} = U^{-1} P^T L^{-1}
も LPU 分解である。両方の分解における置換行列の因子は一意に決まる。P を前問と同様に、A の分割に適合するように分割する。
(c) すると次が成り立つ：
\text{nullity } A_{11} = \text{nullity } P_{11} = \text{nullity } P_{22}^T = \text{nullity } B_{22}
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