7.2.2　半正定値行列の累乗も半正定値であるもし \( A \in M_n \) が半正定値であるならば、各 \( k = 1, 2, \ldots \) に対して \( A^k \) もまた半正定値である。証明行列 \( A \) の固...

7.2.1 正定値および半正定値行列の固有値による特徴付け定理 7.2.1. エルミート行列は、そのすべての固有値が非負である場合に限り半正定値である。また、そのすべての固有値が正である場合に限り正定値である。演習. 前記の定理から、非特異...

7.1.問題30問題 7.1.P30　 \( A \in M_n \) の Hermitian 部分が正定値であるとする。このとき \(A^{-*}A\) がユニタリ行列に相似であること、および\( I + A^{-*}A \)が正則である...

7.1.問題29問題 7.1.P29\( A = H_1 + i K_1, B = H_2 + i K_2 \in M_n \) とし、\(H_1, H_2, K_1, K_2\) は Hermitian、かつ \(H_1, H_2\) は...

7.1.問題28問題 7.1.P28　 これは (4.5.P21) の続きである。\( A \in M_n \) を半正定値とし、次のように分割する：A = \begin{bmatrix} B & C \\ C^* & D \end{bma...

7.1.問題27問題 7.1.P27\( A, B \in M_n \) が半正定値であり、部分集合 \( \alpha \subset \{1,\dots,n\} \) を考える。(a) なぜ各 k = 1,2,... に対して \(\m...

7.1.問題26問題 7.1.P26　 \( A \in M_n \) の Hermitian 部分 \( H(A) \) が半正定値であり、かつ \(\mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,H(A)\) である...

7.1.問題25問題 7.1.P25　 \( A \in M_n \) が半正定値であり、\( n = km \) とする。行列 \( A \) を k×k のブロック行列A = _{i,j=1}^{k}として、各ブロックは \(m×m\)...

7.1.問題24問題 7.1.P24　 行列A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{12}^* & A_{22} \end{bmatrix} \in M_nが半正定値であるとする。式 (7.1.1...

7.1.問題23問題 7.1.P23　 行列A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}を考える。Hermitian 部分 \( H(A) \) が正定値であることを示せ。したがって、式...

7.1.問題22問題 7.1.P22　 \( A \in M_n \) が半正定値 Hermitian 部分 \( H(A) \) をもつとする。もし \( H(A^2) \) が半正定値ならば、\( \mathrm{rank}\,A = ...

7.1.問題21問題 7.1.P21\( A \in M_n \) が半正定値 Hermitian 部分をもつとする。(a) 任意の正則行列 \( S \in M_n \) に対して \( SAS^* \) も同様の性質をもつことを説明せよ...

7.1.問題20問題 7.1.P20　すべての連続複素値関数 \( f \) に対して次が成り立つことを示せ。\int_0^N \int_0^N \min\{s, t\} \, \overline{f(s)} f(t) \, ds dt= ...

7.1.問題19問題 7.1.P19　 前問の結果と極限の議論を用いて、カーネルK(s, t) = \min\{s, t\}が任意の \( N \gt 0 \) に対して区間 \(\) 上で半正定値であることを示せ。すなわち、すべての連続複...

7.1.問題18問題 7.1.P18　 (a) \( 0 \lt \alpha_1 \lt \cdots \lt \alpha_n \) とし、A = _{i,j=1}^nとおく。このとき次が成り立つことを示せ。A = \alpha_1 J...

7.1.問題17問題 7.1.P17　 \( J_n \) を \( n \times n \) のすべての要素が 1 の行列とする（式 (0.2.8) を参照）。次を示せ。x^* J_n x = |x_1 + \cdots + x_n|^...

7.1.問題16問題 7.1.P16　 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C} \) が与えられ、すべての \( j = 1, \dots, n \) に対して \(\mathrm{Re}...

7.1.問題15問題 7.1.P15　 \( f \) が正定値関数であり、ある正の実数 \( \tau \) に対して \( f(\tau) = f(0) \) が成り立つとする。このとき、\( f \) が周期 \( \tau \) を...

7.1.問題14問題 7.1.P14　 \( A \in M_n \) が半正定値行列であり、次の拡張行列（ボーダー行列）B = \begin{bmatrix}A & y \\y^* & \alpha\end{bmatrix}が半正定値であ...

7.1.問題13問題 7.1.P13　 (a) \( f \) が正定値関数であるとき、複素共役関数 \( \overline{f} \) および実部 \( \tfrac{1}{2}(f + \overline{f}) = \mathrm{...

7.1.問題12問題 7.1.P12　 \( g \) が非負かつ可積分な関数であるとする。このとき、f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{its} g(s) \, dsが正定値関数であることを示せ。次の関数が...

7.1.問題11問題 7.1.P11　\( \sin t \) は正定値関数であるか？

7.1.問題10問題 7.1.P10　\( \cos t \) が正定値関数であることを証明せよ。

7.1.問題9問題 7.1.P9　各 \( s \in \mathbb{R} \) に対して \( f(t) = e^{ist} \) が正定値関数であることを示せ。さらに、前問の結果を用いて、任意の \( s_1, \dots, s_n ...

7.1.問題8問題 7.1.P8　\( f_1, \dots, f_n \) が正定値関数であり、\( a_1, \dots, a_n \) が非負の実数であるとする。このとき、f = a_1 f_1 + \cdots + a_n f_nが...

7.1.問題7問題 7.1.P7　関数 \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) が、任意の点集合 \(\{t_1, \dots, t_n\} \subset \mathbb{R}\) および \(n = 1,...

7.1.問題6問題 7.1.P6　\( A \in M_n \)、\( B \in M_m \) がエルミート行列であるとする。このとき、直和 \( A \oplus B \) が半正定値であることと、\( A \) および \( B \)...

7.1.問題5問題 7.1.P5　\( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。もし \(|\operatorname{tr} A| \lt \|A\|_2\)（ここで \(\|A\|_2\) はフロベニウスノルム）であるな...

7.1.問題4問題 7.1.P4　\( A = \in M_n \) が相関行列であるとする。このとき、すべての \( i, j = 1, \dots, n \) に対して|a_{ij}| \le 1が成り立つことを示せ。等号が成立すること...