2.3.問題102.3.P10\( A = \in M_n \)、\( c = \max \{ |a_{ij}| : 1 \le i, j \le n \} \) とするとき、次の不等式 \( |\det A| \le c^n n^{n/2...

2.3.問題92.3.P9\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) とし、\( Ax = \lambda x \) を満たす非零ベクトル \( x \)...

2.3.問題82.3.P8\( Q \in M_n \) が複素直交行列であり、\( x \in \mathbb{C}^n \) が固有値 \( \lambda \neq \pm1 \) に対応する固有ベクトルであるとする。このとき、\( ...

2.3.問題72.3.P7ある \( A \in M_n \) が \( A = Q \Lambda Q^T \) と書けるとする。ここで \( Q \in M_n \) は複素直交行列、\( \Lambda \in M_n \) は上三角...

2.3.問題62.3.P6\( A, B \in M_n \) が与えられ、両者が同時に上三角化可能、すなわちある正則行列 \( S \in M_n \) に対して\( S^{-1} A S \) および \( S^{-1} B S \) ...

2.3.問題52.3.P5与えられた行列族 \( \mathcal{F} = \{A_1, \dots, A_k\} \subset M_n \) に対し、すべてのペア積からなる族を\( \mathcal{G} = \{A_i A_j : ...

2.3.問題42.3.P4次の行列族 \( \mathcal{F} \) を考える：\mathcal{F} =\left\{\begin{bmatrix}0 & -1 \\0 & -1\end{bmatrix},\begin{bmatrix...

2.3.問題32.3.P3\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) の場合、非実固有値（存在するならば）は共役な対として現れる理由を説明せよ。

2.3.問題22.3.P2\(x \in \mathbb{R}^n\) が与えられた単位ベクトルであるとき、(2.3.P1) で述べた構成を簡略化して、第1列が \(x\) であるような実直交行列 \(Q \in M_n(\mathbb{R...

2.3.問題12.3.P1\(x \in \mathbb{C}^n\) を与えられた単位ベクトルとし、\(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ y^T \end{bmatrix}\) と書く。ただし、\(x_1 \in \m...

2.3.7系 2.3.7. 行列 \( A \in M_n \) が \( A \overline{A} = \overline{A} A \) を満たすとする。このとき、実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) ...

2.3.6 可換族の同時準三角化前節の定理には、可換族に対応するバージョンがあります。すなわち、実数値行列の可換族は、ひとつの実数または実直交の相似変換によって、同時に共通の上準三角形形式に変換することができます。(2.3.5) のブロック...

2.3.4（実Schur標準形）定理 2.3.4（実Schur標準形）実行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) に対して、以下の性質が成り立つ：(a)実正則行列 \( S \in M_n(\mathbb{R}) \) ...

2.3.3定理 2.3.3：可換な行列族のユニタリ三角化\( M_n \) の非空の可換な行列族 \( F \subseteq M_n \) が与えられたとき、すべての \( A \in F \) に対して \( U^*AU \) が上三角...

2.3.2　例例 2.3.2\( A \) の固有値の順番を入れ替えてから三角化 (2.3.1) を行うと、主対角線より上の成分（上三角部分）が異なることがあります。以下の例を考えてみましょう：\begin{align}T_1 &= \be...

2.3.1定理 2.3.1（シュールの標準形・シュール三角化）任意の順序で固有値 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) をもつ行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) と、次を満たす単位ベクトル ...

2.2.問題102.2.P10\( n \geq 2 \) を満たす整数とし、\( \omega = e^{2\pi i / n} \) と定義します。(a)次の式が成り立つ理由を説明してください：\sum_{k=0}^{n-1} \ome...

2.2.問題92.2.P9\( A \in M_n \) であり、かつ \( \mathrm{tr}\,A = 0 \) であると仮定します。式 (2.2.3) を用いて、\( A \) が2つの冪零行列（nilpotent matrix）...

2.2.問題82.2.P8：交換子の性質\( A, B \in M_2 \) とし、\( C = AB - BA \) と定義します。例 2.2.3 を用いて、あるスカラー \( \lambda \) が存在して \( C^2 = \lam...

2.2.問題72.2.P7：ユニタリ相似ではないが恒等式を満たす例恒等式 (2.2.2) を満たすが、ユニタリ相似ではない 2×2 行列の例を挙げ、それがなぜユニタリ相似でないのかを説明してください。

2.2.問題62.2.P6：ユニタリ相似に関する条件\( A \in M_n \)、\( B, C \in M_m \) とします。(2.2.6) または (2.2.8) を用いて、次のいずれかの条件が成り立つとき、\( B \) と \(...

2.2.問題52.2.P5\( A \in M_n \) であり、あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して A^* = UAU^* を満たすとする。このとき、\( U \) は \( A + A^* \) と可換であるこ...

2.2.問題42.2.P4\( A \in M_3 \) とする。(a) (2.2.8c) にある最初の6語 \(W \) に対して、以下を示し、次の同値性を結論せよ：\mathrm{tr}\, W(A, A^*) = \mathrm{tr...

2.2.問題32.2.P3\( A \in M_2 \) とする。(a) (2.2.8b) にある3つの語 \(W\) に対して、次を示せ：\mathrm{tr}\, W(A, A^*) = \mathrm{tr}\, W(A^T \ove...

2.2.問題22.2.P2Givensの固有値計算法も平面回転を用いるが、その使い方は異なる。\( n \ge 3 \) とする。すべての実行列 \(A = \in M_n(\mathbb{R})\) が、実下ヘッセンベルグ行列と直交相似で...

2.2.問題12.2.P1\( A = \in M_n(\mathbb{R}) \) を対称だが対角行列ではないとし、\( i \lt j \) かつ \( |a_{ij}| = \max\{|a_{pq}| : p < q\} \) とな...

2.2.8定理定理 2.2.8. \(A, B \in M_n\) とする。(a) 2つの行列 \(A, B\) がユニタリ相似であるのは、長さが高々n \; \sqrt{\frac{2n^{2}}{\,n-1\,} + \frac{1}{...