8.正および非負行列 [行列解析8.2.6]系：ペロンベクトルとペロン根
8.2.6 系：ペロンベクトルとペロン根\( A \in M_n \) が正であるとする。このとき、次の条件を満たす唯一のベクトル \( x = \in \mathbb{C}^n \) が存在する：A x = \rho(A) x, \qua...
8.正および非負行列 8.正および非負行列 [行列解析8.2.5]定理：正行列の最大固有値の幾何的重複度
8.2.5 定理：正行列の最大固有値の幾何的重複度行列 \( A \in M_n \) が正であるならば、そのスペクトル半径 \( \rho(A) \) を固有値としてもつときの幾何的重複度は 1 である。証明\( w, z \in \ma...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.4]定理：正の行列における固有値の絶対値の最大性
8.2.4 定理：正の行列における固有値の絶対値の最大性\( A \in M_n \) が正の行列であるとする。もし \( \lambda \) が \( A \) の固有値であり、かつ \( \lambda \neq \rho(A) \)...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.3]補題：正の行列に対する固有ベクトルの位相調整
8.2.3 補題：正の行列に対する固有ベクトルの位相調整\( A \in M_n \) が正の行列であるとする。もし \( \lambda, x \) が \( A \) の固有ペアであり、かつ \( |\lambda| = \rho(A)...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.2]定理：正の行列に対する固有ベクトルの存在
8.2.2 定理：正の行列に対する固有ベクトルの存在\( A \in M_n \) が正の行列であるとき、次を満たす正のベクトル \( x \) および \( y \) が存在する：A x = \rho(A)x \quad \text{かつ...
8.正および非負行列 [行列解析8.2.1]補題：正の行列に関する基本的性質
8.2.1 補題：正の行列に関する基本的性質\( A \in M_n \) を正の行列とする。もし \( \lambda, x \) が \( A \) の固有値・固有ベクトルの組（固有ペア）であり、かつ \( |\lambda| = \r...
8.正および非負行列 [行列解析8.2]正行列
目次8.2.1 補題：正の行列に関する基本的性質8.2.2 定理：正の行列に対する固有ベクトルの存在8.2.3 補題：正の行列に対する固有ベクトルの位相調整8.2.4 定理：正の行列における固有値の絶対値の最大性8.2.5 定理：正行列の最...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P11]
8.1.問題118.1.P11\( A = \in M_n \) を非負行列とし、\( \sigma \) を集合 \(\{1, \ldots, n\}\) の置換とする。また\gamma = a_{1\sigma(1)} a_{2\sig...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P10]
8.1.問題108.1.P10次のような分割をもつ行列A = _{i,j=1}^k \in M_nを考える。ただし各ブロック \( A_{ij} \in M_{n_i, n_j} \) であり、\( n_1 + \cdots + n_k =...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P9]
8.1.問題98.1.P9\( A \in M_n \) とする。(8.1.18) を用いて次を示せ：\|A\|_2 \le \||A|\|_2
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P8]
8.1.問題88.1.P8\( A, B \in M_n \) が非負行列であり、\( A \ge B \ge 0 \) であるとする。このとき、次を示せ：\|A\|_2 \ge \|B\|_2
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P7]
8.1.問題78.1.P7\( A = \in M_n \) を非負行列、\( x = \in \mathbb{R}^n \) を正のベクトルとする。(a)式 (8.1.27) は次のように書き換えられることを説明せよ。\min_{1 \l...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P6]
8.1.問題68.1.P6既約でない（すなわち還元可能な）非負行列でも、正の固有ベクトルをもつことを示す例を挙げよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P5]
8.1.問題58.1.P5\( A \in M_n \) が非負であり、正の固有ベクトルをもつとする。このとき、\( A \) は非負行列に対して対角相似であり、その行和（各行の要素の和）はすべて等しいことを示せ。それらの行和は何に等しいか...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P4]
8.1.問題48.1.P4\( A \in M_n \) とする。系 5.6.13 により、任意の \( \varepsilon \gt 0 \) に対して、非負行列 \( C(A, \varepsilon) \) が存在し、次が成り立つ：...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P3]
8.1.問題38.1.P3\( A \in M_n \) が非負かつ零行列でないとする。もし \( A \) が正の固有ベクトルをもつならば、なぜ \( \rho(A) \gt 0 \) が成り立つのかを説明せよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P2]
8.1.問題28.1.P2次の条件を満たす \( 2 \times 2 \) 行列 \( A \) の例を挙げよ。\( A \ge 0 \)、\( A \) は正行列ではないが、\( A^2 \gt 0 \)。
8.正および非負行列 [行列解析8.1.P1]
8.1.問題18.1.P1\( A \in M_n \) が非負行列であり、ある正の整数 \( k \) に対して \( A^k \) が正行列であるとする。このとき、なぜ \( \rho(A) \gt 0 \) が成り立つのかを説明せよ。
8.正および非負行列 [行列解析8.1]問題集
8.1.問題集以下では、非負行列とスペクトル半径に関連する性質について考察する問題を示す。それぞれの問題は、ペロン–フロベニウスの定理の理解を深めるうえで重要である。 8.1.P1\( A \in M_n \) が非負行列であり、ある正の整...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.33]系：非負行列のべき乗とスペクトル半径の関係
8.1.33 系：非負行列のべき乗とスペクトル半径の関係\( A = \in M_n \) を非負行列とし、\( A^m = \) とする。 もし \( A \) が正の固有ベクトル \( x = \) をもつならば、すべての \( m =...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.31]系：正の固有ベクトルをもつ非負行列のスペクトル半径の表現
8.1.31系：正の固有ベクトルをもつ非負行列のスペクトル半径の表現\( A = \in M_n \) を非負行列とする。もし \( A \) が正の固有ベクトルをもつならば、次が成り立つ。8.1.32\rho(A)= \max_{x \g...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.30]系：正の固有ベクトルをもつ非負行列の固有値とスペクトル半径
8.1.30 系：正の固有ベクトルをもつ非負行列の固有値とスペクトル半径\( A \in M_n \) を非負行列とする。もし \( x \) が \( A \) の正の固有ベクトルであるならば、 \( \rho(A), x \) は \(...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.29]系：非負行列に対するスペクトル半径の評価
8.1.29 系：非負行列に対するスペクトル半径の評価\( A = \in M_n \) を非負行列とし、\( x = \in \mathbb{R}^n \) を正のベクトルとする。 もし定数 \( \alpha, \beta \ge 0 ...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.26]定理：非負行列に対するスペクトル半径の一般化された評価式
8.1.26 定理：非負行列に対するスペクトル半径の一般化された評価式非負行列 \( A = \in M_n \) と、正のベクトル \( x = \in \mathbb{R}^n \) に対して、次の不等式が成り立つ。(8.1.27)\m...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.22]定理：非負行列のスペクトル半径に対する行和および列和の上下界
8.1.22 定理：非負行列のスペクトル半径に対する行和および列和の上下界非負行列 \( A = \in M_n \) に対して、次の不等式が成り立つ。\min_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.21]補題：非負行列のスペクトル半径と行・列の和の関係
8.1.21 補題：非負行列のスペクトル半径と行・列の和の関係行列 \( A = \in M_n \) が非負であるとき、次の不等式が成り立つ。\rho(A) \le \|A\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.20]系：非負行列の部分行列とスペクトル半径に関する性質
8.1.20 系：非負行列の部分行列とスペクトル半径に関する性質\( A = \in M_n \) を非負行列とする。このとき、次の性質が成り立つ。(a) \( \tilde{A} \) が \( A \) の主小行列（principal ...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.19]系：非負行列におけるスペクトル半径の単調性
8.1.19 系：非負行列におけるスペクトル半径の単調性\( A, B \in M_n \) を非負行列とする。もし \( 0 \le A \le B \) であるならば、次が成り立つ。\rho(A) \le \rho(B)これは、非負行列...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.18]定理：非負行列に対するスペクトル半径の比較
8.1.18 定理：非負行列に対するスペクトル半径の比較定理 8.1.18．\( A, B \in M_n \) とし、\( B \) が非負行列であると仮定する。もし \( |A| \le B \) が成り立つならば、\rho(A) \l...
8.正および非負行列 [行列解析8.1.8]命題：行列とベクトルの絶対値に関する基本性質
8.1.8命題命題 8.1.8\( A = \in M_n \)、\( x = \in \mathbb{C}^n \) とする。(a) \( |Ax| \le |A|\,|x| \)。(b) \(A\) が非負で、少なくとも1つの正の行をも...