0.9.3 三角行列行列 \( T = \in \mathbb{M}_{n,m}(F) \) が、\( i > j \) のとき \( t_{ij} = 0 \) ならば 上三角行列 といいます。また、\( i \ge j \) のとき \...

0.9.2 ブロック対角行列と直和行列 \( A \in \mathbb{M}_n(F) \) が次の形の場合、A =\begin{bmatrix}A_{11} & 0 & \cdots & 0 \\0 & A_{22} & \cdots ...

0.9.1 対角行列行列 \( D = \in \mathbb{M}_{n,m}(F) \) は、\( j \neq i \) のとき \( d_{ij} = 0 \) であれば対角行列と呼ばれます。対角行列の対角成分がすべて正の（非負の）...

0.9 特殊な行列の種類特定の形状を持つ行列は頻繁に現れ、重要な性質を持ちます。ここではそれらのうち代表的なものを用語とともにまとめます。0.9.1 対角行列0.9.2 ブロック対角行列と直和0.9.3 三角行列0.9.4 ブロック三角行列...

0.8.12　余因子行列と複合行列行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n(F) \) を考えます。添字集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} \)、\( \beta \subseteq...

0.8.11　ドッジソンの恒等式（Dodgson’s identity）行列 \( A \in \mathbb{M}_n(F) \) を考えます。次のように定義します。\( a = \det A \)：行列 \( A \) の \( n \...

0.8.10　行列式の微分行列 \( A(t) = = \) を、成分が \( t \) に関して微分可能な複素数値関数で構成される \( n \times n \) 行列とします。ここで、\( A'(t) = \) と定義します。行列式の...

0.8.9　ラプラス展開定理（Laplace expansion theorem）ラプラス展開（0.3.1.1）とは、ある行または列に沿った小行列式による行列式の展開のことですが、これは行列式を表す自然な一連の式の中に含まれます。行列 \(...

0.8.8　小行列式（minor）間の関係式行列 \( A \in \mathbb{M}_{m,n}(F) \) を与え、濃度 \( k \) の固定された添字集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} ...

0.8.7　コーシー・ビネの公式（Cauchy–Binet formula）この有用な公式は、見た目が行列の積の公式に似ているため、覚えやすい形をしています。これは偶然ではなく、実際には複合行列（compound matrix）の乗法性 (...

0.8.6　シルベスターとクロネッカーの行列式恒等式(0.8.5.4) の結果から導かれる2つの帰結を考えます。まず、次のように定義します：B = \left( b_{ij} \right) = \left \right]_{i,j=1}^...

0.8.5 シュア補題と行列式の公式A = \in M_n(F) とし、ある添字集合 \( \alpha \subset \{1, \ldots, n\} \) に対して、部分行列 \( A \) が正則（可逆）であるとします。このとき、A...

0.8.4 逆行列の小行列式（Minors of the inverse）Jacobiの恒等式は、正則な行列 \(A \in M_n(F)\) に対する余因子を用いた逆行列の公式を一般化し、\(A^{-1}\) の小行列式と \(A\) の...

0.8.3 クラメルの公式（Cramer’s Rule）クラメルの公式は、\( A \in M_n(F) \) が正則であるとき、連立一次方程式 \( Ax = b \) の解ベクトルの特定の成分を解析的に表現する便利な方法です。次の恒等式...

0.8.2 余因子行列（Adjugate）と逆行列\( A \in M_n(F) \), \( n \geq 2 \) とします。行列 \( A \) の余因子の転置行列（余因子行列、または古典的随伴行列）は次で与えられます：\mathrm...

0.8.1 合成行列（Compound matrices）行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) を考えます。集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} \)、および \( \beta \su...

0.8 再び行列式について行列式に関する追加的な事実と恒等式は、参照のために有用です。0.8.1 合成行列（Compound matrices）0.8.2 余因子行列と逆行列0.8.3 クラメルの公式0.8.4 逆行列の小行列式0.8.5 ...

0.7.8 vec写像行列 \( A \in M_{m,n}(F) \) をその列によって分割し、A = と表現します。写像 vec：\( M_{m,n}(F) \rightarrow F^{mn} \) は、\operatorname{v...

0.7.7 可換性、反可換性、およびブロック対角行列2つの行列 \( A, B \in M_n(F) \) が 可換であるとは、\( AB = BA \) が成り立つことを意味します。可換性は一般的ではありませんが、重要な特例がよく見られま...

0.7.6 分割行列の階数とランク主小行列行列 \( A \in M_n(F) \) を次のように分割します：A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatr...

0.7.5 相補零空間次元（complementary nullities）\(A \in M_n(F)\) が可逆行列で、\(\alpha, \beta \subset \{1, \ldots, n\}\) を空でない部分集合とし、\(|...

0.7.4 Sherman–Morrison–Woodbury 公式可逆行列 \(A \in M_n(F)\) があり、その逆行列 \(A^{-1}\) が既知であるとします。ここで、B = A + XRYと定義し、\(X\) は \(n ...

0.7.3 分割行列の逆行列可逆な分割行列 A の逆行列において、対応するブロックを同様に分割形式で表現することが有用な場合があります。これは、A \(\in M_n(F)\) およびその逆行列 \(A^{-1}\) の特定の部分行列が可逆...

0.7.2 分割、ブロック行列、積の計算集合 \( \{1, \ldots, m\} \) の分割を \( \alpha_1, \ldots, \alpha_t \)、集合 \( \{1, \ldots, n\} \) の分割を \( \b...

0.7.1 部分行列\( A \in \mathbb{M}_{m,n}(F) \) とし、インデックス集合 \( \alpha \subseteq \{1, \ldots, m\} \)、\( \beta \subseteq \{1, \l...

0.7 分割された集合と行列集合 \( S \) の分割とは、\( S \) の部分集合の集まりであり、各要素がそのいずれか一つだけに含まれているようなものを指します。たとえば、集合 \( \{1, 2, \ldots, n\} \) の分...

0.6.6 直交補空間任意の集合 \( S \subset \mathbb{C}^n \) に対して、その直交補空間はS^\perp = \{ x \in \mathbb{C}^n : x^* y = 0 \text{ for all } ...

0.6.5 直交正規基底内積空間における直交正規基底とは、直交正規列をなすベクトルからなる基底のことです。グラム–シュミット法により任意の有限基底を直交正規基底に変換可能であり、任意の直交正規列は直交正規基底に拡張できます。直交正規基底では...

0.6.4 グラム–シュミット直交化法内積空間における有限個の線形独立なベクトル列は、同じ線形包を持つ直交正規列に置き換えることが可能です。その代表的な方法がグラム–シュミット直交化法です。初めにベクトル列 \( x_1, \ldots, ...

0.6.3 コーシー–シュワルツの不等式コーシー–シュワルツの不等式によれば、任意の \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して|\langle x, y \rangle| \leq \|x\|_2 \|y\|_2が成...