7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.P1]
7.0.問題17.0.P1 非負関数によって生成される数列に関する二次形式もし数列 \( a_k \) が、非負関数 \( f \) によって次の式a_k = \int_0^1 x^k f(x)\,dxで生成されるならば、次の二つの二次形式...
7.正定値および半正定値行列 
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0]問題集
7.0.問題集ここでは、第7章の導入で述べた「正の性質をもつエルミート行列」に関連する演習問題と、より深い学習のための参考文献を示す。7.0.P1 非負関数によって生成される数列に関する二次形式もし数列 \( a_k \) が、非負関数 \...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.5]微分方程式の数値解における離散化と差分スキーム
7.0.5 次のような2点境界値問題を考える。- y''(x) + \sigma(x) y(x) = f(x), \quad 0 \le x \le 1y(0) = \alpha, \quad y(1) = \betaここで、\(\alph...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.4]非負関数の三角モーメント
7.0.4 非負関数の三角モーメント\( f \) を区間 \(\) 上の実数値・絶対可積分関数とし、次の値を考える。a_k = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{ik\theta} f(\theta)\,...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.3]非負関数の代数モーメント
7.0.3区間 \(\) 上で絶対可積分な実数値関数 \( f \) を考える。このとき、次の数列を定義する。a_k = \int_{0}^{1} x^{k} f(x) \, dx数列 \( a_0, a_1, a_2, \ldots \)...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.2]共分散行列（Covariance Matrices）
7.0.2実または複素の確率変数 \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) が、有限の2次モーメントをもつ確率空間上で定義されているとする。このとき、期待値作用素を \( E \) とし、各確率変数の平均を \( \mu_i ...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0.1]ヘッセ行列、最小化、および凸性
7.0.1.ヘッセ行列、最小化、および凸性滑らかな実数値関数 \( f \) を、ある領域 \( D \subset \mathbb{R}^n \) 上で考える。もし \( y = \) が \( D \) の内部点であるなら、テイラーの定...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7.0]はじめに
目次7.0.1 ヘッセ行列、最小化、および凸性7.0.2 共分散行列（Covariance Matrices）7.0.3 非負関数の代数モーメント7.0.4 非負関数の三角モーメント7.0.5 微分方程式の数値解における離散化と差分スキーム...
7.正定値および半正定値行列 [行列解析7]正定値および半正定値行列
7 正定値および半正定値行列 (Positive Definite and Semidefinite Matrices)目次7.0 はじめに (Introduction)7.1 定義と性質 (Definitions and properti...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4]注記
6.4.補足と参考文献：固有値包含集合と関連定理固有値の包含集合に関する詳細および原論文への多くの参照については、R. Brualdi の論文「Matrices, eigenvalues, and directed graphs」（Line...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.P8]
6.4.問題8問題 6.4.P8ブラウアー集合 (6.4.8) は (6.2.8) に示されたような境界固有値性を一般には持たないが、その部分集合の中には同様の性質をもつものが存在する。すなわち、\( A = \in M_n \) が非可約...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.P7]
6.4.問題7問題 6.4.P7\( A = \in M_n \) で、すべての \( i = 1, \ldots, n \) について \( a_{ii} = 0 \) であるとする。\( A \) の各行の絶対値の和（対角要素を除く）を...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.P6]
6.4.問題6問題 6.4.P6次の行列を考える。A =\begin{bmatrix}-2 & 4 & -3 \\0 & 1 & -\frac{1}{4} \\1 & 0 & 1\end{bmatrix}(6.4.12)\bigcup_{i...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.P5]
6.4.問題5問題 6.4.P5行列 \( A \in M_n \) が弱非可約であることと、\( A \) が置換相似によって、対角ブロックの1つが1×1のブロックであるようなブロック三角行列に変形できないことが同値であることを示せ。
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.P4]
6.4.問題4問題 6.4.P4(6.1.10) および (6.2.6) の議論を利用して、(6.4.29) の証明の詳細を補え。
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.P3]
6.4.問題3問題 6.4.P3\( n \ge 2 \) のとき、任意の非可約行列 \( A \in M_n \) は弱非可約（weakly irreducible）であることを示せ。また、弱非可約ではあるが非可約ではない行列の例を挙げよ...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.P2]
6.4.問題2問題 6.4.P2次の行列を考える。A = \begin{bmatrix}2 & 3 \\1 & 3\end{bmatrix}条件 (6.4.11) の両方が \( A \) の非特異性を保証することを示せ。ただし、(6.1....
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.P1]
6.4.問題16.4章 練習問題：ブラウアーの条件と行列の非可約性この節では、ブラウアー（Brauer）の条件、レヴィ＝デスプランク（Levy–Desplanques）の条件、行列の非可約性およびその弱形式などに関する演習問題を扱う。問題 ...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4]問題集
6.4.問題集この節では、ブラウアー（Brauer）の条件、レヴィ＝デスプランク（Levy–Desplanques）の条件、行列の非可約性およびその弱形式などに関する演習問題を扱う。問題 6.4.P1\( n \ge 2 \) であり、行列...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.30]定理（Kolotilina）：固有値とカッシーニの楕円領域
6.4.30\( n \ge 2 \) とし、\( A = \in M_n \) が既約（irreducible）であるとする。このとき、行列 \( A \) のすべての固有値は次の集合に含まれる。\bigcup_{i \ne j,\, |...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.29]系：行列の非特異性を保証する条件とBrauerの定理の強化版
6.4.29\( A \in M_n \) で \( n \ge 2 \) のとき、次のいずれかの条件を満たすとき、行列 \( A \) は非特異（nonsingular）である。(a) \( A \) が弱い意味で既約（weakly ir...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.26]定理：Brualdiの定理
6.4.26 定理（Brualdiの定理）行列 \( A = \in M_n \) が既約であり、かつ \( n \ge 2 \) であるとする。集合 (6.4.19) の境界点 \(\lambda\) が \(A\) の固有値となるのは、...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.18]定理：Brualdi の定理
6.4.18.定理 6.4.18（Brualdi の定理）定理 6.4.18（Brualdi）。\( A = \in M_n \) とし、\( n \ge 2 \) と仮定する。もし \(A\) が弱既約（weakly irreducibl...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.17]補題：前順序集合における極大要素の存在と有向グラフの非自明サイクル
6.4.17.補題：前順序集合における極大要素の存在と有向グラフの非自明サイクル補題 6.4.17 非空有限集合 \(S\) に前順序 \(R\) が定義されているとする。このとき、\(S\) は少なくとも1つの極大要素を含む。 証明：集合...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.16]弱既約性と前順序関係に関する補題
6.4.16.弱既約性と前順序関係に関する補題補題 6.4.16：\( A \in M_n \) が弱既約（weakly irreducible）であることと、次の条件が成り立つことは同値である。 B = = (I + |A|)^{n-1}...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.11]ブラウアの定理と削除行和に基づく固有値包含集合の一般化
6.4.11.ブラウアの定理と削除行和に基づく固有値包含集合の一般化次の系は、オストロフスキーとブラウアの定理に基づき、行列が非特異（可逆）であるための十分条件を与えるものである。系 6.4.11. \( A = \in M_n \) （\...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.7]
6.4.7.ブラウアーの定理（Brauer’s Theorem）定理6.4.7（ブラウアー）：\(A = \in M_n\) とし、\(n \ge 2\) と仮定する。 行列 \(A\) の固有値は、次のような \(n(n - 1)/2\)...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4.1]Ostrowskiの定理：行列の固有値包含円板の一般化
6.4.1本節では、ゲルシュゴリンの定理を拡張したOstrowskiの定理を紹介する。この定理は、行と列の両方の情報を利用して固有値が存在する範囲を示すものであり、パラメータ \(\alpha \in \) によってゲルシュゴリン円板の「行...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.4]その他の固有値包含集合（Ostrowskiの定理を中心に）
6.4.目次6.4.16.4.その他の固有値包含集合（Ostrowskiの定理を中心に）これまでに、ゲルシュゴリン円板（Gersgorin discs）について詳細に議論してきた。多くの研究者は、このゲルシュゴリン理論の幾何学的な優美さに魅...
6.固有値の位置と摂動 [行列解析6.3]注記
参考文献(6.3.2) の最初の版は F. Bauer と C. Fike, "Norms and exclusion theorems", Numer. Math. 2 (1960) 137–141 に現れる。(6.3.5) の元の版は ...