1.4.11補題 1.4.11. \( A \in M_n \)、\( \lambda \in \mathbb{C} \)、およびゼロでないベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与える。\( \lambda \...

1.4.10定理 1.4.10. \( A \in M_n \)、\( \lambda \in \mathbb{C} \)、および \( k \geq 1 \) なる正の整数を与える。このとき、次の3つの命題を考える：(a) \( \lam...

1.4.9定理 1.4.9. \( A, B \in M_n \) とし、ある正則行列 \( S \) に対して \( B = S^{-1}AS \) が成り立つとする。もし \( x \in \mathbb{C}^n \) が \( B ...

1.4.7定理 1.4.7. \( A \in M_n \)、非零ベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \)、およびスカラー \( \lambda, \mu \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。...

1.4.観察 1.4.6a. 非零のベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) と行列 \( A \in M_n \) があり、もし \( Ax = \lambda x \) であるとする。また \( x^{*}A = \m...

1.4.6定義 1.4.6．\(A ∈ M_n\) に対して、非零ベクトル \(y ∈ C_n\) が A の固有値 \(λ\) に対応する左固有ベクトルであるとは、次の式を満たす場合をいう：y^* A = \lambda y^*明確さのた...

1.4.5例 1.4.5．\(A\) と \(A^T\) は同じ固有値を持つが、与えられた固有値に対応する固有空間は異なる場合がある。例えば、次の行列を考える：A = \begin{pmatrix}2 & 0 \\3 & 4\end{pma...

1.4.4定義（欠陥行列・非欠陥行列・デロゲイト行列・非デロゲイト行列）定義 1.4.4．\(A ∈ M_n\) とする。A のある固有値の幾何重複度が代数重複度よりも小さい場合、\(A\) を欠陥行列（defective）という。\(A\...

1.4.3定義\( \lambda \) に対応する \(A\) の固有空間の次元を 幾何重複度（geometric multiplicity） という。\(A\) の特性多項式の零点としての\( \lambda \) の重複度を 代数重複...

1.4.2定義定義 1.4.2\( A \in M_n \) とする。\( \lambda \in \sigma(A) \) が与えられたとき、\( Ax = \lambda x \) を満たすすべてのベクトル \( x \in \math...

1.4.1観察 1.4.1\( A \in M_n \) とする。(a) \( A \) と \( A^T \) の固有値は同じである。(b) \( A^* \) の固有値は \( A \) の固有値の複素共役である。証明．\det(tI ...

1.3.問題411.3.P41 \(A \in M_n\) が異なる固有値を持たない場合、Aに相似な任意の行列も異なる固有値を持たない。しかし、Aに対角的に等しい行列の中には異なる固有値を持つものがあるかもしれない。(a) \(D_1, D...

1.3.問題401.3.P40 \(A, B \in M_n\) のジョルダン積は \( = AB + BA\) と定義される。行列 \(A\) と \(B\) が反交換するとは、\( = 0\) であることをいう（参照: 0.7.7）。(...

1.3.問題391.3.P39 \(A \in M_n\) が与えられ、かつ \(\mathrm{tr}\,A = 0\) とする。もし \(A\) が対角化可能であれば、なぜ \(\mathrm{rank}\,A \le 1\) となるの...

1.3.問題381.3.P38 \(J_n\) をすべての成分が 1 の行列（0.2.8）とし、次の行列を定義する：B(t) = (1 - t) I_n + t J_n, \quad n \ge 2(a) \(B(t)\) の成分を説明せよ...

1.3.問題371.3.P37 \(A \in M_n\) が中心対称（centrosymmetric）であるとする。まず、\(n = 2m\) の場合、\(A\) がブロック形式 (0.9.10.2) で表されるとき、次を示せ：A \si...

1.3.問題361.3.P36 \(A, B \in M_n\) とし、\(n \geq 2\) と仮定する。\(A\) と \(B\) によって生成される代数（\(\mathcal{A}(A,B)\) と表す）は、\(A\) と \(B\...

1.3.問題351.3.P35 集合 \(A \subseteq M_n\) が代数であるとは、(i) \(A\) が部分空間であり、(ii) \(A, B \in A\) のとき \(AB \in A\) が成り立つことをいう。以下の主張...

1.3.問題341.3.P34 \(A, B \in M_n\) が相似であるとき、\(\mathrm{adj}(A)\) と \(\mathrm{adj}(B)\) も相似であることを示せ。

1.3.問題331.3.P33 \(A \in M_n(\mathbb{R})\) が非実固有値 \(\lambda\) を持つとする。ここで \(\lambda = a + ib\)、\(a, b \in \mathbb{R}, b > ...

1.3.問題321.3.P32 \(x \in \mathbb{C}^n\) を与えられた非零ベクトルとし、\(x = u + i v\) と書く。ただし \(u, v \in \mathbb{R}^n\) とする。このとき、ベクトル \(...

1.3.問題311.3.P31 \(a, b \in \mathbb{C}\) とする。次の行列の固有値が \(a \pm ib\) であることを示せ：\begin{bmatrix}a & -b \\b & a\end{bmatrix}

1.3.問題301.3.P30 \(A \in M_n\) が対角化可能であり、\(A = S \Lambda S^{-1}\) とする。ただし、\(\Lambda\) は (1.3.13) の形をもつとする。\(f\) が複素数値関数で、...

1.3.問題291.3.P29 \(A = \in M_n\) とし、各 \(a_{ii} = 0\)（\(i=1,\dots,n\)）かつ、すべての \(i \neq j\) について \(a_{ij} \in \{-1,1\}\) と仮...

1.3.問題281.3.P28 \(A \in M_{m,n}, B \in M_{n,m}\) が与えられているとする。このとき次を証明せよ：\det(I_m + AB) = \det(I_n + BA)

1.3.問題271.3.P27（1.3.P26 の続き） \(A = \in M_{mn}\) を与えられた \(m \times m\) ブロック行列とし、各ブロック \(A_{kl} = \in M_n\) が上三角行列であると仮定する...

1.3.問題261.3.P26 \(e_1, \dots, e_n\) および \(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m\) を、それぞれ \(\mathbb{C}^n\) および \(\mathbb{C}...

1.3.問題251.3.P25 \(x, y \in \mathbb{C}^n\) が与えられ、\(y^*x \neq -1\) と仮定する。(a) 次を確認せよ：(I + xy^*)^{-1} = I - cxy^*, \quad c =...

1.3.問題241.3.P24 整数 \(n \geq 3\) に対し、\(\theta = \frac{2\pi}{n}\) とおく。行列 \(A = _{j,k=1}^n \in M_n(\mathbb{R})\) を考える。このときA...