拡張不等式を使うと、複素数（より一般的に代数体）でも大小比較が可能になります。
記号の定義
通常の不等号
「<」「>」「≦」「≧」
これらは、実数同士の比較で使います。
拡張不等号
「\(<_θ\)」「\(>_θ\)」「\(≦_θ\)」「\(≧_θ\)」
これらは代数体(複素数)の元同士の比較で使用します。
ここでθは、0でない代数体の元で、比較するための向きを表します。
拡張不等式の定義
ポジティブ集合
拡張不等式の定義には、ポジティブ集合と呼ばれる集合が必要です。
ポジティブ集合とは、正の向き(大きい方向)を示す元の集合です。
複素数体（より一般的に代数体）\(F\)に対して、その部分集合であるポジティブ集合\(P\)とは下記の性質を満たすものです。
- \(α,β \in P \implies α+β \in P\)
- \(0 \not\in P\)
- \(α \in P \implies -α \not\in P\)
- \(1 \in P\)
逆の見方をすると、0より大きいとする元の集合がポジティブ集合です。
複素数体\(\mathbb{C}\)に対して代表的なポジティブ集合は下記の２つです。
- \(\mathbb{R}^+ := \{x+yi \in \mathbb{C}|x>0 , y=0)\}\)
- \(\mathbb{C}^+ := \{x+yi \in \mathbb{C}|x>0 \: \lor \: (x=0,y>0)\}\)
ネガティブ集合
正の方向を示すポジティブ集合に対し、負の向き（小さい）を示す元の集合がネガティブ集合です。
ネガティブ集合\(\N\)は、ポジティブ集合から下記のように定義されます。
\(N := -P=\{-x|x \in P\}\)
\(P ∩ N = \varnothing \)が成立しています。
拡張不等式
任意の複素数\(α, β, θ \ne 0\)に対し、次のように拡張不等式を定義します。
- \(\displaystyle α <_θ β \iff \frac{β-α}{θ} \in P\)
- \(\displaystyle α >_θ β \iff \frac{β-α}{θ} \in N\)
- \(\displaystyle α ≦_θ β \iff \frac{β-α}{θ} \in P∪\{0\}\)
- \(\displaystyle α ≧_θ β \iff \frac{β-α}{θ} \in N∪\{0\}\)
拡張不等式の性質
以下、代数体\(F\)に対し、\(α,β,γ,θ \in F (θ \ne 0) \)をその任意の元とし、拡張不等式の性質をいくつか述べます。
平行移動
\( α <_{[θ]} β \Rightarrow α+γ <_{[θ]} β+γ \)
拡大回転
\( α <_{[θ]} β \Rightarrow αγ <_{[θγ]} βγ \)
推移律
\( α <_{[θ]} β, β <_{[θ]} γ \Rightarrow α <_{[θ]} γ \)
両辺交換
\( α <_{[θ]} β \Rightarrow β >_{[θ]} α \)
符号反転
\( α <_{[θ]} β \Rightarrow α >_{[-θ]} β \)
共役
\( α <_{[θ]} β \pod{P} \Rightarrow \overline{α} \overline{<}_{[\overline{θ}]} \overline{β} \)
この場合、ポジティブ集合も共役にする必要があります。
すなわち、\(\overline{P}=\{\overline{x}| x \in P \}\)
\(\overline{θ}\)は、\(θ\)の共役複素数を示しています。
