2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p2]
2.1.問題22.1.P2 \(U \in M_n\) をユニタリ行列とし、\(\lambda\) を \(U\) の固有値とする。このとき次を示せ。 (a) \(|\lambda| = 1\)。 (b) ベクトル \(x\) が \(\l...
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2.ユニタリ相似とユニタリ同値 2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.p1]
2.1.問題12.1.P1 もし \(U \in M_n\) がユニタリであるならば、\(|\det U| = 1\) を示せ。
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1]問題集（ユニタリ行列とQR分解）
行列の定義\(A \in M_n(F)\) に対して、対称行列（symmetric）：\( A^T = A \)反対称行列（skew symmetric）：\( A^T = -A \)直交行列（orthogonal）：\( A^T A = ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.18]定理
2.1.18定理 2.1.18. もし \(X = \in M_{n,k}\)、\(Y = \in M_{n,k}\) が直交正規な列を持つならば、あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(Y = U X\) が成り立つ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.14]定理
2.1.14定理定理 2.1.14 (QR分解). \( A \in M_{n,m} \) とする。(a) \( n \geq m \) のとき、直交正規な列をもつ \( Q \in M_{n,m} \) と、対角成分が非負の上三角行列 \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.13]定理
2.1.13定理 2.1.13. \( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与えられたとし、\(\|x\|_2 = \|y\|_2 > 0\) と仮定する。もし \( y = e^{i\theta} x \) （ある実数 \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.12]例
2.1.12例例 2.1.12. ハウスホルダー行列. \( w \in \mathbb{C}^n \) をゼロでないベクトルとする。ハウスホルダー行列 \( U_w \in M_n \) は次のように定義される：U_w = I - 2 (...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.11]例
2.1.11例 2.1.11. 平面回転. \(1 \leq \lt j \leq n\) とする。このとき、次の行列を定義する：U(\theta; i, j) =\begin{bmatrix}1 & & & & & \\ & \ddots...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.10]補題
2.1.10補題 2.1.10. ユニタリ行列 \( U \in M_n \) を次のように分割する：U = \begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}ただし ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.9]定理
2.1.9定理 2.1.9. \( A \in M_n \) が正則（非特異）であるとする。このとき、\( A^{-1} \) が \( A^{*} \) に相似であるのは、ある正則行列 \( B \in M_n \) が存在して \( A...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.8]補題
2.1.8補題 2.1.8. \( U_1, U_2, \ldots \in M_n \) をユニタリ行列の無限列とする。このとき、無限部分列 \( U_{k_1}, U_{k_2}, \ldots \) （ただし \( 1 \leq k_...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.7]観察
2.1.7観察 2.1.7. \( M_n \) におけるユニタリ行列（あるいは実直交行列）の集合は群を成す。この群は一般に、\( n \times n \) ユニタリ群（あるいは実直交群）と呼ばれ、\( GL(n, \mathbb{C})...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.6]観察
2.1.6観察 2.1.6\( U, V \in M_n \) がユニタリ行列（あるいは実直交行列）であるとき、積 \( UV \) もまたユニタリ行列（あるいは実直交行列）になります。演習問題定理2.1.4の(b)を使って、観察2.1.6...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.5]定義（ユークリッド等距変換）
2.1.5定義 2.1.5（ユークリッド等距変換）線形変換 \( T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m \) がすべての \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( \|x...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.4]定理
定理 2.1.4. \(U \in M_n\) のとき、以下は同値である：(a) \(U\) はユニタリである。(b) \(U\) は正則で、かつ \(U^* = U^{-1}\) である。(c) \(UU^* = I\) である。(d) ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.3]定義（ユニタリ・実直交行列）
2.1.3定義 2.1.3ユニタリ・実直交行列\( U \in M_n \) が「ユニタリ」であるとは、\( U^* U = I \) を満たすことである。\( U \in M_n(\mathbb{R}) \) が「実直交行列」であるとは、...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.2]定理
2.1.2定理 2.1.2任意の直交正規なベクトル列は線形独立である。証明\( \{x_1, \ldots, x_k\} \) が直交正規であると仮定し、次のような線形結合がゼロになるとする： 0 = \alpha_1 x_1 + \cdo...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1.1]定義（直交・直交正規）
2.1.1.定義定義 2.1.1ベクトルの列 \( x_1, \ldots, x_k \in \mathbb{C}^n \) が「直交する」とは、すべての \( i \ne j \) に対して \( x_i^* x_j = 0 \) が成り...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.1]ユニタリ行列とQR分解
2.1 ユニタリ行列とQR分解2.1.1. 定義2.1.2. 定理2.1.3. 定義2.1.4. 定理2.1.5. 定義（ユークリッド等距変換）2.1.6. 観察2.1.7. 観察2.1.8. 補題2.1.9. 定理2.1.10. 補題2....
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.0]はじめに
2.0 はじめに第1章では、一般の正則行列 \( S \) を用いた \( A \in M_n \) の相似変換、すなわち \( A \to S^{-1}AS \) に関する初歩的な研究を行いました。ここで特別な正則行列である「ユニタリ行列...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2]ユニタリ相似性とユニタリ同値性(Unitary Similarity and Unitary Equivalence)
2. ユニタリ相似性とユニタリ同値性目次2.0 はじめに(Introduction)2.1 ユニタリ行列とQR分解(Unitary matrices and the QR factorization)2.2 ユニタリ相似(Unitary s...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p17]
1.4.問題171.4.P17 (1.4.13) で \(a = 2\)、\(b = c = -1\) の場合、次を示せ：\sigma(A) = \left\{ 4 \sin^2 \frac{\pi \kappa}{2(n+1)} : \k...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p16]
1.4.問題161.4.P16 複素三重対角テプリッツ行列A =\begin{pmatrix}a & b & & & 0 \\c & a & b & & \\& \ddots & \ddots & \ddots & \\& & \ddots...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p15]
1.4.問題151.4.P15 \(A \in M_n\) の単純固有値 \(\lambda\) が与えられ、ベクトル \(x, y, z, w \in \mathbb{C}^n\) が次を満たすとする：\(Ax = \lambda x\)...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p14]
1.4.問題141.4.P14 行列 \(A \in M_n\) と複素数 \(t \in \mathbb{C}\) が与えられたとする。なぜ次が成り立つのか説明せよ：(A - t I)\, \mathrm{adj}(A - t I) = ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p13]
1.4.問題131.4.P13 行列 \(A \in M_n\) とゼロでないベクトル \(x, y \in \mathbb{C}^n\) が与えられ、\(\lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n\) を \...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p12]
1.4.問題121.4.P12 行列 \(A \in M_n\) の固有値を \(\lambda\) とする。(a) \(A - \lambda I\) の任意の \(n-1\) 列が線形独立であることと、\(\lambda\) に対応する...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p11]
1.4.問題111.4.P11 行列 \(A \in M_n\) が非簡約上ヘッセンベルグ行列（unreduced upper Hessenberg matrix、参照: 0.9.9）であると仮定する。なぜすべての \(\lambda \i...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p10]
1.4.問題101.4.P10 行列 \(T \in M_n\) が非特異で、その列が行列 \(A \in M_n\) の左固有ベクトルであるとする。このとき、\(T^{-*}\) の列は \(A\) の右固有ベクトルであることを示せ。
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.4.p9]
1.4.問題91.4.P9 行列 \(A \in M_n\) が固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}, 0\) を持ち、したがって \(\operatorname{rank} A \le n-1\) と...