saikorodeka

2.2.問題22.2.P2Givensの固有値計算法も平面回転を用いるが、その使い方は異なる。\( n \ge 3 \) とする。すべての実行列 \(A = \in M_n(\mathbb{R})\) が、実下ヘッセンベルグ行列と直交相似で...

2.2.問題12.2.P1\( A = \in M_n(\mathbb{R}) \) を対称だが対角行列ではないとし、\( i \lt j \) かつ \( |a_{ij}| = \max\{|a_{pq}| : p < q\} \) とな...

2.2.8定理定理 2.2.8. \(A, B \in M_n\) とする。(a) 2つの行列 \(A, B\) がユニタリ相似であるのは、長さが高々n \; \sqrt{\frac{2n^{2}}{\,n-1\,} + \frac{1}{...

2.2.6　Spechtの定理定理 2.2.6. 2つの行列 \(A, B \in M_n\) がユニタリ相似であるのは、2つの非可換変数に関する任意の単語 \(W(s,t)\) に対して(2.2.7)\mathrm{tr}\, W(A, ...

2.2.4（上ヘッセンベルグ行列へのユニタリ相似）例 2.2.4. 上ヘッセンベルグ行列へのユニタリ相似。 \(A = \in M_n\) を与える。次の構成により、\(A\) は第一サブ対角成分が非負の上ヘッセンベルグ行列にユニタリ相似で...

2.2.3例（対角成分がすべて等しい行列へのユニタリ相似）計算上あるいは理論上の理由から、与えられた行列をユニタリ相似変換によって特別な形の行列に変換することが便利な場合がよくある。例 2.2.3. 対角成分がすべて等しい行列へのユニタリ相...

2.2.2定理 2.2.2. ユニタリ行列 \(U \in M_n\)、\(V \in M_m\) を与える。さらに \(A = \in M_{n,m}\)、\(B = \in M_{n,m}\) とし、\(A = UBV\) が成り立つと...

2.2.1定義 2.2.1. \(A, B \in M_n\) が与えられているとする。もしユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在してA = UBU^{*}が成り立つとき、\(A\) は \(B\) にユニタリ相似であるという。も...

2.1.問題292.1.問題29任意の実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) は次のように分解できる理由を説明してください：Q = U_1 \cdots U_N D\quad(N = n(n-1)/2)ここで、各...

2.1.問題282.1.問題28実行列 \( A \in M_{n,m}(\mathbb{R}) \) （\( n \geq m \)）について：(a) 有限個の平面回転行列 \( U_1, \ldots, U_N \) を構成し、U_N ...

2.1.問題272.1.問題27自然数 \( n \geq 2 \) とベクトル \( x = \in \mathbb{R}^n \) を考えます。\( x_n = x_{n-1} = 0 \) ならば \(\theta_1 = 0\) と...

2.1.問題262.1.問題26(a) 任意の行列 \( A \in M_n \) は、ハウスホルダー行列 \( H_1, \ldots, H_{n-1} \) と上三角行列 \( R \) を用いて、次のように分解できることを説明してくだ...

2.1.問題252.1.問題25ユニタリ行列 \( U \in M_n \) と整数 \( r \in \{1, \ldots, n\} \) に対し、複合行列（compound matrix） \( C_r(U) \) がユニタリである理...

2.1.問題242.1.問題24行列 \( E = \in M_3 \) を考えます。ここで各成分 \( e_{ij} = +1 \) です。(a) 行列 \( E \) のパーマネント（permanent）を計算し、\(\mathrm{p...

2.1.問題232.1.問題23\( A \in M_n \) を QR 分解し、\( A = QR \)、かつ列に分割して \( A = \)、\( Q = \)、\( R = \)、さらに \( R = \) とする。以下を説明せよ：\...

2.1.問題222.1.問題22\( X, Y \in M_{n,m} \) が直交な列を持つ行列であるとする。次を示せ：\( X \) と \( Y \) の列空間が一致する ⇔ \( X = YU \) を満たすユニタリ行列 \( U ...

2.1.問題212.1.問題21式 (2.1.10) において、「ユニタリ」を「複素直交」に置き換えても成立することを説明せよ。また、複素直交行列が上三角行列である ⇔ 対角行列であることを示せ。そのような対角複素直交行列はどのような形をし...

2.1.問題202.1.問題20\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、余因子行列（adjugate）について次を示せ：\mathrm{adj}(U) = (\det U) U^*よって \( \mathrm{adj}(U) ...

2.1.問題192.1.問題19\( X = \in M_{n,m} \)、\(\mathrm{rank}(X) = m\)、かつ QR分解 \( X = QR \) をもつとする。\( Y = QR^{-∗} = \) と定義する：\( ...

2.1.問題182.1.問題18\( A \in M_n \) を \( A = QR \) と分解し、列ごとに \( A = \)、\( Q = \)、\( R = _{i,j=1}^n \) とする。各 \( k = 1, \dots,...

2.1.問題172.1.問題17\( A \in M_{n,m} \)、\( n \geq m \)、かつ \(\mathrm{rank}(A) = m \) とする。このとき、A の列に左から右へとグラム–シュミット法を適用する手順を記述...

2.1.問題162.1.問題16\( x, y \in \mathbb{R}^n \) が与えられた一次独立な単位ベクトルとし、\( w = x + y \) と定義する。Palais 行列 \( P_{x,y} \) を次のように定義する...

2.1.問題152.1.問題15\( U \in M_n \) がユニタリで、\( \alpha \subset \{1, \dots, n\} \)、かつ \( U = 0 \)（0.7.1）であるとき、以下を示せ：\( U = 0 \)...

2.1.問題142.1.問題14\( M_n \) におけるユニタリ行列の群と、複素直交行列の群の交差が、実直交行列の群であることを示せ。

2.1.問題132.1.問題13\( \mathrm{diag}(2, \tfrac{1}{2}) \in M_2 \) を考える。ユニタリ行列と相似な行列の集合が、\( A^{-1} \) が \( A^* \) と相似であるようなすべて...

2.1.問題122.1.問題12\( A \in M_n \) があるユニタリ行列と相似であるならば、\( A^{-1} \) は \( A^* \) と相似であることを示せ。

2.1.問題112.1.問題11正則行列 \( A \in M_n \) が斜直交行列（skew orthogonal）であるとは、\( A^{-1} = -A^T \) が成り立つときである。以下を示せ：\( A \) が斜直交 ⇔ \(...

2.1.問題102.1.問題10\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、任意の \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して、\( x \) と \( y \) が直交している ⇔ \( Ux \) と \...