3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P8]
3.1問題83.1.P8\(A \in M_n\) とし、\(\operatorname{rank} A = r \ge 1\) かつ \(A^2=0\) と仮定する。前問または（3.1.18）を用いて、\(A\) のジョルダン標準形が \...
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3.標準形と三角因子分解 3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P7]
3.1問題73.1.P7\(A \in M_n\)、\(\lambda\) を \(A\) の固有値、\(k \in \{1,\ldots,n\}\) とする。\(r_{k-1}(A,\lambda) - 2\,r_k(A,\lambda)...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P6]
3.1問題63.1.P6（3.1.11）の証明の3つの手順を実行して、次の行列のジョルダン標準形を求めなさい。また（3.1.18）を用いて答えを確認しなさい。\begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & 1\end{pmatrix}...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P5]
3.1問題53.1.P5各ジョルダンブロック \(J_k(\lambda)\) は固有値 \(\lambda\) に対して一次元の固有空間をもつことを説明しなさい。これより、\(\lambda\) の幾何学的重複度は 1、代数的重複度は \...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P4]
3.1問題43.1.P4\(A \in M_n\) とする。ある複素数 \(c\) が \(|c|\neq 1\) を満たし、\(A\) が \(cA\) と相似であると仮定せよ。すると \(\sigma(A)=\{0\}\) であり、した...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P3]
3.1問題33.1.P3\(A \in M_n\) が非実成分を含むが、固有値は実数のみであるとする。\(A\) が実行列と相似であることを示しなさい。相似を与える行列を実行列に選べる場合はあるか。
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P2]
3.1問題23.1.P2（3.0.0）にある2つの行列のジョルダン標準形は何か。(3.0.0)A =\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 &...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.P1]
3.1問題13.1.P1（3.1.4）を証明するための計算の詳細を補いなさい。(3.1.4)J_k(0)^T J_k(0) =\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & I_{k-1}\end{bmatrix}\left(I_k ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1]問題集
3.1問題集3.1.P1（3.1.4）を証明するための計算の詳細を補いなさい。(3.1.4)J_k(0)^T J_k(0) =\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & I_{k-1}\end{bmatrix}\left(I_k ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.21]
3.1.21系系 3.1.21. \( A \in M_n \) と非零の \( \xi \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。このとき、ある正則行列 \( S(\xi) \in M_n \) が存在して、次が成り立つ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.18]補題（Segre特性）
3.1.18補題補題 3.1.18. \(A \in M_n\) の固有値 \(\lambda\) を与えられたものとし、\(w_1(A, \lambda), w_2(A, \lambda), \ldots\) を \(\lambda\) ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.11]定理（Weyr特性）
3.1.11定理 3.1.11. \(A \in M_n\) が与えられているとする。このとき、正則行列 \(S \in M_n\)、正の整数 \(q\) および \(n_1, \ldots, n_q\) （ただし \(n_1 + n_2 ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.5]定理
3.1.5定理定理 3.1.5. \(A \in \mathbb{M}_n\) が厳密な上三角行列（すなわち対角成分とその下がすべてゼロ）であるとする。このとき、ある正則行列 \(S \in \mathbb{M}_n\) と、整数 \(n_...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.4]補題
3.1.4補題補題 3.1.4. \(k \geq 2\) とする。\(e_i \in \mathbb{C}^k\) を \(i\) 番目の標準基底ベクトルとし、\(x \in \mathbb{C}^k\) とする。このとき次が成り立つ。J...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1.1]定義
3.1.1定義 3.1.1. ジョルダンブロック \( J_k(\lambda) \) とは、次の形をもつ \( k \times k \) の上三角行列をいいます。J_k(\lambda) =\begin{bmatrix}\lambda ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.1]ジョルダン標準形の定理
3.13.1.1 定義(3.1.2)J_1(\lambda) = , \quadJ_2(\lambda) =\begin{bmatrix}\lambda & 1 \\0 & \lambda\end{bmatrix}(3.1.3)J = J_...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3.0]序論
3.0 序論3.0 序論2つの行列が相似かどうかをどのように判定できるでしょうか。次の行列を考えてみましょう。(3.0.0)A =\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & ...
3.標準形と三角因子分解 [行列解析3]相似性のための標準形および三角分解 (Canonical Forms for Similarity and Triangular Factorizations)
3.標準形（Canonical Forms）と三角因子分解目次3.0 はじめに (Introduction)3.1 ジョルダン標準形定理 (The Jordan canonical form theorem)3.2 ジョルダン標準形の結果 ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.7]問題集
2.7.問題集CS分解を用いて、次の各問題を解きなさい。他の方法も可能であるが、ここではCS分解を使うこととする。与えられた \( A \in M_{n,m} \) が縮小写像 (contraction) であるとは、その最大特異値が 1 ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.7.1]CS分解
2.7.1定理 2.7.1（CS分解）．整数 \( p, q, n \) が与えられていて、\( 1 \lt p \leq q \lt n \)、かつ \( p+q=n \) とする。次のようなユニタリ行列U =\begin{bmatrix...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.7]
2.72.7 CS分解CS分解は、分割されたユニタリ行列に対する分割ユニタリ同値の下での標準形である。その証明には、特異値分解、QR分解、そして次の演習に示される観察が用いられる。演習. \( \Gamma, L \in M_p \) とす...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p40]
2.6.問題402.6.P40(2.4.5.1) の表記を用い、\(T\) と \(T'\) がユニタリ合同であるとする。(a) 各 \(i,j = 1, \ldots, d\) に対して、\(T_{ij}\) と \(T'_{ij}\) ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p39]
2.6.問題392.6.P39\(A \in M_n\) が共反転行列 (coninvolutory) で、すなわち \(A\) が正則で \(A = \bar A^{-1}\) であるとする。1 でない \(A\) の特異値が互いに逆数の...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p38]
2.6.問題382.6.P38\(A \in M_n\) が正則で、\(\sigma_n\) が \(A + A^{-*}\) の最小特異値であるとする。\(\sigma_n \ge 2\) を示せ。また、等号が成立する場合について考察せよ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p37]
2.6.問題372.6.P37\(A \in M_n\) が異なる特異値を持つとする。\(A = V \Sigma W^*\) および \(A = \hat V \Sigma \hat W^*\) が特異値分解である。(a) \(A\) が...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p36]
2.6.問題362.6.P36\(A \in M_n\) がランク r を持ち、正の異なる特異値を \(s_1, \ldots, s_d\)、それぞれの重複度を \(n_1, \ldots, n_d\) とし、特異値分解 \(A = V \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p35]
2.6.問題352.6.P35前問の表記を用いて次を示せ：\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \\ \le \sqrt{ (\mathrm{tr} AA^* - \frac{1}{n} |\mathrm{tr} ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p34]
2.6.問題342.6.P34\(A \in M_n\) および \(A^2\) の固有値をそれぞれ \(\lambda_1(A), \ldots, \lambda_n(A)\) および \(\lambda_1(A^2), \ldots, ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p33]
2.6.問題332.6.P33\(A \in M_n\) の順序付き特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n\) とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。複合行列 \(C_r...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p32]
2.6.問題322.6.P32\(A \in M_n\) とし、\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^T & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}とする。もし \(\sigma_1, \ldots, \sig...