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3.2.4.4系 3.2.4.4. \( A, B, S \in M_n \) が与えられ、\( A \) が非退化（nonderogatory）であるとする。もし \( AB = BA^T \) ならば、\( B \) は対称行列である。...

3.2.4.2定理 3.2.4.2. \( A \in M_n \) が非退化であるとする。もし \( B \in M_n \) が \( A \) と可換であるならば、次数が高々 \( n-1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在...

3.2.4.1定義 3.2.4.1. 複素正方行列が非退化（nonderogatory）であるとは、その固有値のそれぞれが幾何重複度 1 をもつ場合をいう。ジョルダン行列におけるある固有値の幾何重複度は、その固有値に対応するジョルダンブロッ...

3.2.43.2.4 可換性と非退化行列（nonderogatory matrices）。任意の多項式 \( p(t) \) と任意の \( A \in M_n \) に対して、\( p(A) \) は常に \( A \) と可換です。では...

3.2.3.2定理 3.2.3.2. 任意の正方複素行列は2つの複素対称行列の積として表すことができ、どちらか一方の因子を正則に選ぶことができます。任意の体 \( F \) に対して、\( M_n(F) \) の各行列は、\( M_n(F)...

3.2.3.1定理 3.2.3.1. \( A \in M_n \) とする。このとき、ある正則な複素対称行列 \( S \) が存在して、次が成り立つ：A^T = S A S^{-1}もし \( A \) が nonderogatory（...

3.2.33.2.3 行列とその転置の相似性。\(K_m\) を \(m \times m\) の逆順行列（0.9.5.1）とする。この行列は対称かつ自己逆行列であり、すなわち \(K_m = K_m^T = K_m^{-1}\) である。...

3.2.2　一般常微分方程式の線形系3.2.2 一般常微分方程式の線形系。ジョルダン標準形の応用のひとつで、理論的に重要なものは、定数係数をもつ1階線形常微分方程式系の解の解析です。\( A \in M_n \) が与えられたとき、次の初期...

3.2.1ジョルダン行列の構造ジョルダン行列J=\begin{bmatrix}J_{n_1}(\lambda_1) & & \\ & \ddots & \\ & & J_{n_k}(\lambda_k)\\\end{bmatrix}, \\...

3.1問題303.1.P30\( A \in M_n \) の唯一の固有値が \( \lambda = 1 \) であるとする。このとき、任意の \( k = 1, 2, \ldots \) に対して \( A \) が \( A^k \)...

3.1問題293.1.P29\( A \in M_k \) が上三角行列であり、各 \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} = 1 \)、各 \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して \...

3.1問題283.1.P28\( A, B \in M_n \) とする。\( A \) と \( B \) が相似であることと、すべての固有値 \( \lambda \) と \( k = 1, \ldots, n \) に対して\tex...

3.1問題273.1.P27\( A \in M_n \) が正規行列であるとする。前問および QR 分解 (2.1.14) を用いて、\( A \) がユニタリ対角化可能であることを示せ。

3.1問題263.1.P26\( A \in M_n \) が正規行列であるとする。前問を用いて、定義 (2.5.1) から \( A \) が対角化可能であることを導け。ただしスペクトル定理 (2.5.3) は用いないこと。

3.1問題253.1.P25 (3.1.11) を用いて、\( A \in M_n \) が対角化可能であるための必要十分条件は、各固有値 \( \lambda \) に対して次が成り立つことであることを示せ：x \in \mathbb{C...

3.1問題243.1.P24次の 4×4 行列を考える：\( A = _{i,j=1}^2, \; B = _{i,j=1}^2 \) とし、A_{11} = A_{22} = B_{11} = B_{22} = J_2(0), \\\qu...

3.1問題233.1.P23行列 \( A = \in M_n \) が三重対角行列であり、すべての \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} \) が実数であるとする。(a) \( a_{i,i+1} a...

3.1問題223.1.P22\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が三重対角行列であるとする。 (a) もし \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \gt 0 \) が \( i = 1, \ldots, n-1 ...

3.1問題213.1.P21\( A \in M_n \) が既約でない上ヘッセンベルグ行列であるとする（(0.9.9) 参照）。(a) \( A \) の各固有値 λ に対して \( w_1(A, \lambda) = 1 \) であり、...

3.1問題203.1.P20\( A \in M_n \) で \( n > \mathrm{rank}(A) \geq 1 \) と仮定する。もし \(\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(A^2)\)、すなわ...

3.1問題193.1.P19\( x, y \in \mathbb{R}^n \)、\( t \in \mathbb{R} \) が与えられたとする。上三角行列を次のように定める：A_{x,y,t} =\begin{bmatrix}1 & ...

3.1問題183.1.P18\( A \in M_n \) が正則であると仮定する。 (a) もし \( A \) の各固有値が +1 または −1 であるならば、\( A \) は \( A^{-1} \) と相似である理由を説明せよ。 ...

3.1問題173.1.P17\( A \in M_n \) が正則であると仮定する。\( A \) が \( A^{-1} \) と相似であることと、\( A \) の固有値 λ について λ ≠ ±1 の場合に、ジョルダン標準形における ...

3.1問題163.1.P16ここで λ ≠ 0 かつ k ≥ 2 とする。このとき \( J_k(\lambda)^{-1} \) は \( J_k(\lambda) \) の多項式で表される (2.4.3.4)。 (a) \( J_k(\...

3.1問題153.1.P15\(n\ge 2\)、非ゼロベクトル \(x,y\in\mathbb{C}^n\) を与え、\(A=xy^\ast\) とする。(a) \(A\) のジョルダン標準形は \(B\oplus 0_{n-2}\) で...

3.1問題143.1.P14\(A\in M_n\) とする。式 (3.1.18) を用いて \(A\) と \(A^{\mathrm T}\) が相似であることを示しなさい。さらに、\(A\) と \(A^\ast\) が相似であるかどう...

3.1問題133.1.P13正の整数 \(k,m\) を与え、次のブロック・ジョルダン行列を考えます。\begin{align}&J_k^+(\lambda I_m):= \notag \\&\begin{bmatrix}\lambda I...

3.1問題123.1.P12 \(A\in M_n\) をとり、正の整数 \(k,p\) を与える。\(w_k=w_k(A,\lambda)\)（\(k=1,2,\dots\)）、\(s_k=s_k(A,\lambda)\)（\(k=1,2...

3.1問題111.P11(3.1.15)\begin{align}& r_k(A,\lambda) = \operatorname{rank}(A - \lambda I)^k, \notag \quad \\& r_0(A,\lambda...